Атанасян, 7 класс — № 178

Коротко об условии

Доказать, что внешний угол треугольника больше каждого из двух внутренних углов, не смежных с ним.

Условие передано кратко своими словами; решение составлено автором сайта.

Решение по шагам

1. Рассмотрим треугольник ABC и продолжим сторону BC за точку C до точки D. Угол ACD — внешний.
2. Докажем сначала, что ∠ACD > ∠A. Возьмём середину M стороны AC и продолжим BM за M до точки E так, чтобы ME = MB.
3. Треугольники AMB и CME равны по двум сторонам и углу между ними: AM = MC, BM = ME, а ∠AMB = ∠CME как вертикальные.
4. Поэтому ∠MCE = ∠A. Луч CE лежит внутри внешнего угла ACD, значит ∠ACD > ∠MCE = ∠A.
5. Аналогичным построением, поменяв роли вершин A и B, получаем ∠ACD > ∠B.
6. Следовательно, внешний угол треугольника больше каждого из двух внутренних углов, не смежных с ним.

Ответ

Что важно запомнить

Это важная теорема сравнения углов; ниже она используется для доказательства признака равенства треугольников по стороне и двум углам.