Задача № 1
Провести прямую a, расположить точки A и B на ней, точки P, Q, R — вне её и записать принадлежность символами.
Открыть решение →Геометрия · 7 класс
Атанасян — решения, 7 класс
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.
Нумерация сверена с переработанными изданиями 2023–2026.
Глава I полностью готова: № 1–91. Глава II «Треугольники» полностью готова: № 92–190. Глава III «Параллельные прямые» полностью готова: № 191–227. Глава IV «Соотношения между сторонами и углами треугольника» полностью готова: № 228–303. Дополнительные задачи главы IV полностью готовы: № 304–330. В главе V «Геометрические места точек. Симметричные фигуры» опубликованы № 331–461: § 1 (№331–335), § 2 (№336–373), § 3 (№374–393), дополнительные задачи №394–412 и задачи повышенной трудности №413–461. 7 класс завершён полностью.
123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461
№ 1–311
Выберите задачу
Задача № 2
Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Через каждую пару провести прямую и определить их число.
Открыть решение →Задача № 3
Рассмотреть три прямые, каждые две из которых пересекаются, и определить все возможные числа точек пересечения.
Открыть решение →Задача № 4
Точки A, B, C лежат на одной прямой, точка D — вне неё. Через каждую пару точек провести прямую и посчитать различные прямые.
Открыть решение →Задача № 5
На прямой a отметить A, B; точки M, N разместить на отрезке AB; P, Q — на прямой, но вне отрезка; R, S — вне прямой.
Открыть решение →Задача № 6
На прямой отмечены три точки. Определить, сколько отрезков с концами в этих точках можно назвать.
Открыть решение →Задача № 7
По рисунку 14 назвать отрезки, на которых лежит точка C, и отрезок, которому не принадлежит точка B.
Открыть решение →Задача № 8
Изобразить ломаную из трёх звеньев: сначала замкнутую, затем незамкнутую.
Открыть решение →Задача № 9
По начертанию цифр почтового индекса определить, какие цифры образованы ломаными, число их звеньев и какая ломаная замкнута.
Открыть решение →Задача № 10
Разбить пятиугольник диагоналями на треугольники так, чтобы каждый треугольник имел общие стороны с пятиугольником, и определить получившиеся фигуры.
Открыть решение →Задача № 11
На прямой точки A, C, B расположены так, что C лежит на отрезке AB. Среди заданных лучей найти совпадающие и указать продолжение луча CA.
Открыть решение →Задача № 12
Построить три неразвёрнутых угла и обозначить их способами ∠AOB, ∠hk и ∠M.
Открыть решение →Задача № 13
Построить два развёрнутых угла и обозначить их.
Открыть решение →Задача № 14
Три луча h, k, l имеют общее начало. Назвать все углы, образованные парами этих лучей.
Открыть решение →Задача № 15
Построить неразвёрнутый угол hk и отметить по две точки внутри, вне угла и на его сторонах.
Открыть решение →Задача № 16
Построить неразвёрнутый угол и расположить A, B, M, N так, чтобы весь AB лежал внутри угла, а весь MN — вне него.
Открыть решение →Задача № 17
Построить ∠AOB так, чтобы луч OC делил его на два угла, а луч OD не делил ∠AOC на два угла.
Открыть решение →Задача № 18
Определить число неразвёрнутых углов, образованных двумя пересекающимися прямыми.
Открыть решение →Задача № 19
По рисунку 22 определить точки внутри угла hk, вне его и на сторонах.
Открыть решение →Задача № 20
По рисунку 23 определить, какие из отмеченных лучей делят угол AOB на два угла.
Открыть решение →Задача № 21
На одном луче точки расположены в порядке O–B–A–C. Нужно сравнить OB и OA, OC и OA, а также OB и OC.
Открыть решение →Задача № 22
Точка O — середина отрезка AB. Проверить, можно ли совместить наложением OA с OB и OA с AB.
Открыть решение →Задача № 23
На одной прямой подряд расположены A, B, C, D, E, причём AB = BC = CD = DE. Нужно определить середины нескольких отрезков.
Открыть решение →Задача № 24
Луч OC проходит внутри угла AOB и делит его на два угла. Сравнить ∠AOB и ∠AOC.
Открыть решение →Задача № 25
Луч l — биссектриса угла hk. Проверить возможность совместить ∠hl с ∠lk и ∠hl с ∠hk.
Открыть решение →Задача № 26
На рисунке 31 соседние углы с вершиной O, отмеченные одинаковыми цифрами, равны. Требуется определить биссектрисы и сравнить два угла.
Открыть решение →Задача № 27
Нужно измерить ширину и длину своего учебника геометрии и записать результат в сантиметрах и миллиметрах.
Открыть решение →Задача № 28
По измеренной толщине книжного блока без обложки нужно оценить толщину одного листа.
Открыть решение →Задача № 29
По рисунку 36 сравнить длины AB, PQ, EF, CD и KL сначала в единицах KL, затем в единицах AB.
Открыть решение →Задача № 30
Для данного отрезка AB нужно на луче h от его начала отложить отрезки длиной 2AB, AB/2 и AB/4.
Открыть решение →Задача № 31
На прямой даны точки A и B. Построить C так, чтобы B была серединой AC, а затем D — серединой BC.
Открыть решение →Задача № 32
На прямой AB отметить точки C, находящиеся на расстоянии 2 см от A, и определить их число.
Открыть решение →Задача № 33
Точка B лежит внутри AC. Дано AB = 7,8 см и BC = 25 мм. Найти AC.
Открыть решение →Задача № 34
Точка B делит AC на части AB и BC. Найти BC: а) AB = 3,7 см, AC = 7,2 см; б) AB = 4 мм, AC = 4 см.
Открыть решение →Задача № 35
Точки A, B, C лежат на одной прямой; AB = 12 см, BC = 13,5 см. Найти возможные значения AC.
Открыть решение →Задача № 36
Точки B, D, M лежат на одной прямой; BD = 7 см, MD = 16 см. Найти возможные значения BM.
Открыть решение →Задача № 37
C — середина AB = 64 см. На луче CA отмечена D, причём CD = 15 см. Найти BD и DA.
Открыть решение →Задача № 38
Москва и Санкт-Петербург находятся примерно в 650 км друг от друга; Тверь лежит между ними в 170 км от Москвы. Найти расстояние от Твери до Санкт-Петербурга.
Открыть решение →Задача № 39
Проверить, могут ли A, B, C лежать на одной прямой при AC = 5 см, AB = 3 см, BC = 4 см.
Открыть решение →Задача № 40
C — середина AB, O — середина AC. Найти нужные отрезки: а) при AB = 2 см; б) при CB = 3,2 м.
Открыть решение →Задача № 41
OA = 12 см, OB = 9 см. Найти расстояние между серединами OA и OB в двух взаимных расположениях точек.
Открыть решение →Задача № 42
Отрезок длины a разделён произвольной внутренней точкой на две части. Найти расстояние между серединами этих частей.
Открыть решение →Задача № 43
Отрезок длины 28 см разделён на три неравные части. Между серединами крайних частей — 16 см. Найти среднюю часть.
Открыть решение →Задача № 44
По рисунку 37 все пять отмеченных звеньев имеют длину 3 см. Нужно найти длины замкнутых ломаных и самую длинную ломаную на рисунке.
Открыть решение →Задача № 45
Построить три неразвёрнутых угла и один развёрнутый, обозначить их и измерить транспортиром.
Открыть решение →Задача № 46
От луча OA построить транспортиром углы 23°, 67° и 138° с вершиной O.
Открыть решение →Задача № 47
Построить угол 70° и провести его биссектрису транспортиром.
Открыть решение →Задача № 48
Для заданного ∠AOB провести OC так, чтобы OA стала биссектрисой ∠BOC, и выяснить, всегда ли это возможно.
Открыть решение →Задача № 49
У двух углов одинаковые градусные меры. Нужно определить, равны ли сами углы.
Открыть решение →Задача № 50
По шкале рисунка 43 найти несколько углов, выделить углы по 20°, равные углы и все углы со стороной OA.
Открыть решение →Задача № 51
Луч OE делит ∠AOB. Найти весь угол по двум частям: 44° и 77°; 12°37′ и 108°25′.
Открыть решение →Задача № 52
∠AOB = 78°, а ∠AOC на 18° меньше ∠COB. Найти ∠COB.
Открыть решение →Задача № 53
∠AOB = 155°, а ∠AOC на 15° больше ∠COB. Найти ∠AOC.
Открыть решение →Задача № 54
∠AOC = 108°, угол AOB является его частью и втрое больше ∠BOC. Найти ∠AOB.
Открыть решение →Задача № 55
Прямой ∠AOD разбит лучами OB и OC на три равных угла. Найти угол между биссектрисами крайних частей.
Открыть решение →Задача № 56
OV — биссектриса ∠ZOY, OU — биссектриса ∠XOY, а ∠UOV = 80°. Найти ∠XOZ.
Открыть решение →Задача № 57
Луч l — биссектриса неразвёрнутого угла hk. Может ли ∠hl быть прямым или тупым?
Открыть решение →Задача № 58
Построить острый ∠AOB, продолжить OB за O до луча OD и сравнить ∠AOB и ∠AOD.
Открыть решение →Задача № 59
Построить острый, прямой и тупой углы и для каждого — смежный угол.
Открыть решение →Задача № 60
Для неразвёрнутого ∠hk построить ∠h₁k₁, вертикальный к нему.
Открыть решение →Задача № 61
Построить через точки P и Q прямые, перпендикулярные к обеим сторонам угла MON.
Открыть решение →Задача № 62
Найти углы, смежные с 111°, 90° и 15°.
Открыть решение →Задача № 63
Определить вид угла, смежного с прямым углом.
Открыть решение →Задача № 64
Проверить утверждение: если смежные углы равны, то они прямые.
Открыть решение →Задача № 65
Найти смежные ∠hk и ∠kl по разности, кратности или отношению.
Открыть решение →Задача № 66
На рисунке ∠BOD = ∠COD, а ∠COB = 148°. Найти ∠AOD.
Открыть решение →Задача № 67
Даны два равных угла. Сравнить углы, смежные с ними.
Открыть решение →Задача № 68
По рисунку с двумя пересекающимися прямыми найти остальные углы по одному известному.
Открыть решение →Задача № 69
Найти четыре неразвёрнутых угла при пересечении двух прямых по сумме двух или трёх из них.
Открыть решение →Задача № 70
По рисунку с пересекающимися прямыми найти ∠1–∠4 по трём различным условиям.
Открыть решение →Задача № 71
Три прямые пересекаются в одной точке. Найти сумму трёх отмеченных подряд углов.
Открыть решение →Задача № 72
На рисунке трёх пересекающихся прямых ∠AOB=50°, ∠FOE=70°. Найти ∠AOC, ∠BOD, ∠COE и угол между AD и FC.
Открыть решение →Задача № 73
Прямая a пересекает обе стороны угла A. Могут ли обе стороны быть перпендикулярны a?
Открыть решение →Задача № 74
Через точку A вне прямой a проведены три прямые, пересекающие a. Доказать, что хотя бы две из них не перпендикулярны a.
Открыть решение →Задача № 75
Через каждую пару из четырёх точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, провести прямую и найти их число.
Открыть решение →Задача № 76
Четыре прямые попарно пересекаются, и через каждую точку пересечения проходят ровно две прямые. Найти число точек пересечения.
Открыть решение →Задача № 77
Посчитать неразвёрнутые углы при пересечении трёх прямых в одной точке.
Открыть решение →Задача № 78
Точка N делит отрезок MP=24 см, причём MN вдвое больше NP. Найти обе части.
Открыть решение →Задача № 79
Точки K, L, M лежат на одной прямой, KL=6 см, LM=10 см. Найти возможные KM.
Открыть решение →Задача № 80
Отрезок AB длины a разделён точками P и Q так, что AP=2PQ=2QB. Найти два расстояния, связанные с серединами частей.
Открыть решение →Задача № 81
Отрезок длины m делят на 3 или 5 равных частей. Найти расстояние между серединами крайних частей.
Открыть решение →Задача № 82
Отрезок 36 см разделён на четыре неравные части. По расстоянию между серединами крайних частей найти расстояние между серединами средних.
Открыть решение →Задача № 83
Точки A, B, C лежат на одной прямой; M и N — середины AB и AC. Доказать связь между BC и MN.
Открыть решение →Задача № 84
Даны углы AOB=35° и BOC=50°. Найти возможные значения угла AOC.
Открыть решение →Задача № 85
∠hk=120°, ∠hm=150°. Найти возможные значения ∠km.
Открыть решение →Задача № 86
Найти смежные углы: а) один на 45° больше другого; б) их разность 35°.
Открыть решение →Задача № 87
Найти угол между биссектрисами двух смежных углов.
Открыть решение →Задача № 88
Доказать, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Открыть решение →Задача № 89
Биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны. Доказать, что A, B, D лежат на одной прямой.
Открыть решение →Задача № 90
Две прямые a и b пересекаются. Через точку A проведены m⊥a и n⊥b. Доказать, что m и n не совпадают.
Открыть решение →Задача № 91
Прямоугольник составлен в ряд из одинаковых квадратов с периметром 8 см. Найти площадь и периметр для 2, 3, 4 и n квадратов.
Открыть решение →Задача № 92
Построить произвольный треугольник MNP, назвать его стороны и углы, измерить стороны и вычислить периметр.
Открыть решение →Задача № 93
Построить прямоугольный треугольник DEF с прямым углом E и назвать противолежащие и прилежащие элементы.
Открыть решение →Задача № 94
По двум сторонам и углу между ними построить три треугольника с заданными размерами.
Открыть решение →Задача № 95
В треугольнике ABC известно AB = 17 см, AC вдвое больше AB, а BC на 10 см меньше AC. Найти периметр.
Открыть решение →Задача № 96
Периметр треугольника 48 см, одна сторона 18 см, а две другие отличаются на 4,6 см. Найти эти стороны.
Открыть решение →Задача № 97
У двух треугольников разные периметры. Могут ли такие треугольники быть равными?
Открыть решение →Задача № 98
Отрезки AE и DC пересекаются в точке B, причём B — середина каждого. Доказать равенство двух треугольников и найти углы A и C, если в треугольнике BDE углы D=47°, E=42°.
Открыть решение →Задача № 99
По рисунку 58: AB = AC и отмеченные углы 1 и 2 равны. Доказать равенство ΔABD и ΔACD; при AC=15 см и DC=5 см найти BD и AB.
Открыть решение →Задача № 100
По рисунку 59: BC = AD и отмеченные углы 1 и 2 равны. Доказать равенство ΔABC и ΔCDA; при AD=17 см и DC=14 см найти AB и BC.
Открыть решение →Задача № 101
По рисунку 60: OA = OD, OB = OC, ∠1 = 74°, ∠2 = 36°. Доказать равенство ΔAOB и ΔDOC и найти ∠ACD.
Открыть решение →Задача № 102
Отрезки AC и BD пересекаются в точке O и делятся ею пополам. Доказать, что ΔABC = ΔCDA.
Открыть решение →Задача № 103
В ΔABC и ΔA₁B₁C₁ равны AB и A₁B₁, AC и A₁C₁, углы A и A₁. На AB и A₁B₁ взяты P и P₁ с AP=A₁P₁. Доказать равенство ΔBPC и ΔB₁P₁C₁.
Открыть решение →Задача № 104
На сторонах угла CAD точки B и E расположены так, что B лежит на AC, E — на AD, AC=AD и AB=AE. Доказать ∠CBD = ∠DEC.
Открыть решение →Задача № 105
Провести из двух точек A и B, лежащих по разные стороны от прямой a, перпендикуляры к этой прямой.
Открыть решение →Задача № 106
В произвольном треугольнике отметить середины сторон и провести все три медианы.
Открыть решение →Задача № 107
В произвольном треугольнике построить три биссектрисы с помощью транспортира и линейки.
Открыть решение →Задача № 108
Построить высоты остроугольного треугольника ABC и тупоугольного треугольника MNP (угол M тупой).
Открыть решение →Задача № 109
Построить три равнобедренных треугольника, у которых вершина напротив основания имеет соответственно острый, прямой и тупой угол.
Открыть решение →Задача № 110
Точки A и C лежат по одну сторону от прямой a; AB и CD — равные перпендикуляры к a. Доказать равенство указанных элементов и найти ∠ABC, если ∠ADB=44°.
Открыть решение →Задача № 111
Медиану AD треугольника ABC продолжили за D до E так, что DE=AD, и соединили E с C. Доказать равенство ΔABD и ΔECD; найти ∠ACE при ∠ACD=56°, ∠ABD=40°.
Открыть решение →Задача № 112
В равнобедренном треугольнике периметр равен 50 см, а основание вдвое короче боковой стороны. Найти все стороны.
Открыть решение →Задача № 113
Периметр равнобедренного треугольника ABC с основанием BC равен 40 см. Равносторонний треугольник BCD имеет периметр 45 см. Найти AB и BC.
Открыть решение →Задача № 114
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Периметр ABC равен 32 см, а периметр ABM — 24 см. Найти AM.
Открыть решение →Задача № 115
Доказать: если медиана треугольника одновременно является его высотой, то треугольник равнобедренный.
Открыть решение →Задача № 116
По рисунку 72 известно, что CD = BD и отмеченные углы 1 и 2 равны. Доказать, что треугольник ABC равнобедренный.
Открыть решение →Задача № 117
По рисунку 73а известно, что AB = BC и внешний угол 1 равен 130°. Найти угол 2.
Открыть решение →Задача № 118
Точки M и P расположены по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ к b равны, а O — середина NQ. Доказать равенство углов OMP и OPM; при ∠MOP = 105° найти ∠NOM.
Открыть решение →Задача № 119
Доказать, что в равных треугольниках медианы, проведённые к соответствующим равным сторонам, равны.
Открыть решение →Задача № 120
В треугольнике ABC медиана AM равна BM. Доказать, что один угол треугольника равен сумме двух других.
Открыть решение →Задача № 121
Доказать, что все углы равностороннего треугольника равны.
Открыть решение →Задача № 122
По рисунку 73б известно: AB = BC и CD = DE. Доказать, что ∠BAC = ∠CED.
Открыть решение →Задача № 123
На основании BC равнобедренного треугольника ABC отмечены M и N так, что BM = CN. Доказать равенство треугольников BAM и CAN и равнобедренность AMN.
Открыть решение →Задача № 124
В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK = 16 см биссектриса EF проведена из вершины E. Известно ∠DEF = 43°. Найти KF, ∠DEK и ∠EFD.
Открыть решение →Задача № 125
В равнобедренном ABC с основанием AC проведена медиана BD. На AB и CB выбраны E и F так, что AE = CF. Доказать: ΔBDE = ΔBDF и ΔADE = ΔCDF.
Открыть решение →Задача № 126
Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, причём O — середина AB и ∠OAD = ∠OBC. Доказать ΔCBO = ΔDAO; при CD = 26 см и AD = 15 см найти BC и CO.
Открыть решение →Задача № 127
По рисунку 59 даны ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4. Доказать ΔABC = ΔCDA; если AD = 19 см и CD = 11 см, найти AB и BC.
Открыть решение →Задача № 128
Точка D лежит на биссектрисе угла A, а точки B и C — на его сторонах. Известно, что ∠ADB = ∠ADC. Доказать BD = CD.
Открыть решение →Задача № 129
По данным рисунка 79 доказать, что OP = OT и ∠P = ∠T.
Открыть решение →Задача № 130
По рисунку 80 известно, что ∠DAC = ∠DBC и AO = BO. Доказать ∠C = ∠D и AC = BD.
Открыть решение →Задача № 131
По рисунку 80 даны ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA и AC = 13 см. Найти BD.
Открыть решение →Задача № 132
В двух треугольниках заданы равные стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, равные углы при B и B₁; точки D и D₁ лежат на AB и A₁B₁. По равенству ∠ACD и ∠A₁C₁D₁ доказать равенство ΔBCD и ΔB₁C₁D₁.
Открыть решение →Задача № 133
Доказать: в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.
Открыть решение →Задача № 134
Отрезки AC и BD пересекаются в точке O, причём O — середина AC и ∠BCO = ∠DAO. Доказать равенство ΔBOA и ΔDOC.
Открыть решение →Задача № 135
В ΔABC и ΔA₁B₁C₁ медианы CO и C₁O₁; BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁. Доказать равенство треугольников ACO и A₁C₁O₁, а также BCO и B₁C₁O₁.
Открыть решение →Задача № 136
В ΔDEF и ΔMNP даны EF = NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Биссектрисы углов D и E пересекаются в O, а углов M и N — в K. Доказать ∠DOE = ∠MKN.
Открыть решение →Задача № 137
Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла A, пересекает стороны угла в M и N. Доказать, что ΔAMN равнобедренный.
Открыть решение →Задача № 138
Доказать: если биссектриса треугольника одновременно является его высотой, то треугольник равнобедренный.
Открыть решение →Задача № 139
Доказать: два равнобедренных треугольника равны, если их основания и прилежащие к основаниям углы соответственно равны.
Открыть решение →Задача № 140
Доказать: если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.
Открыть решение →Задача № 141
В ΔABD и ΔACD даны AB = AC, BD = DC; точки B и C находятся по разные стороны от AD. Если ∠BAC = 50°, найти ∠CAD.
Открыть решение →Задача № 142
В ΔABC и ΔADC даны BC = AD и AB = CD. Доказать ∠B = ∠D, рассмотрев возможные расположения B и D.
Открыть решение →Задача № 143
По рисунку 81 даны AB = CD и BD = AC. Доказать: а) ∠CAD = ∠ADB; б) ∠BAC = ∠CDB.
Открыть решение →Задача № 144
По рисунку 82 AB = CD, AD = BC; BE и DF — биссектрисы углов ABC и ADC. Доказать: а) ∠ABE = ∠ADF; б) ΔABE = ΔCDF.
Открыть решение →Задача № 145
В ΔABC и ΔA₁B₁C₁ медианы BM и B₁M₁ равны; AB = A₁B₁, AC = A₁C₁. Доказать равенство исходных треугольников.
Открыть решение →Задача № 146
В ΔABC и ΔA₁B₁C₁ биссектрисы AD и A₁D₁; AB = A₁B₁, BD = B₁D₁ и AD = A₁D₁. Доказать равенство исходных треугольников.
Открыть решение →Задача № 147
Равнобедренные ΔADC и ΔBCD имеют общее основание DC; AB пересекает DC в O. Доказать: а) ∠ADB = ∠ACB; б) DO = OC.
Открыть решение →Задача № 148
По рисунку 96 определить, какие изображённые отрезки являются хордами, диаметром и радиусами окружности; O — центр.
Открыть решение →Задача № 149
AB и CD — диаметры одной окружности. Доказать: а) BD = AC; б) AD = BC; в) ∠BAD = ∠BCD.
Открыть решение →Задача № 150
MK — диаметр окружности с центром O, а MP и PK — равные хорды. Найти ∠POM.
Открыть решение →Задача № 151
AB и CD — диаметры окружности с центром O. Найти периметр ΔAOD, если CB = 13 см, AB = 16 см.
Открыть решение →Задача № 152
На окружности с центром O точки A и B выбраны так, что ∠AOB = 90°. BC — диаметр. Доказать, что хорды AB и AC равны.
Открыть решение →Задача № 153
На прямой даны точки A и B. На продолжении луча BA построить точку C так, чтобы BC = 2AB.
Открыть решение →Задача № 154
Даны прямая a, точка B вне неё и отрезок PQ. Построить точку M на прямой a так, чтобы BM = PQ. Всегда ли это возможно?
Открыть решение →Задача № 155
Даны окружность, точка A, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Построить точку M на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли это возможно?
Открыть решение →Задача № 156
Даны острый угол BAC и луч XY. Построить угол YXZ, равный удвоенному углу BAC.
Открыть решение →Задача № 157
Дан тупой угол AOB. Построить луч OX так, чтобы углы XOA и XOB были равными тупыми углами.
Открыть решение →Задача № 158
Даны прямая a и точка M, не лежащая на ней. Построить прямую через M, перпендикулярную a.
Открыть решение →Задача № 159
Дан треугольник ABC. Построить: а) биссектрису AK; б) медиану BM; в) высоту CH.
Открыть решение →Задача № 160
С помощью циркуля и линейки построить углы: а) 45°; б) 22°30′.
Открыть решение →Задача № 161
Периметр треугольника ABC равен 15 см. BC на 2 см больше AB, а AB на 1 см меньше AC. Найти стороны.
Открыть решение →Задача № 162
В равнобедренном треугольнике основание на 2 см больше боковой стороны и на 3 см меньше суммы двух боковых сторон. Найти стороны.
Открыть решение →Задача № 163
Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана к боковой стороне делит его на два треугольника, периметры которых отличаются на 2 см. Найти боковую сторону.
Открыть решение →Задача № 164
Доказать: два равнобедренных треугольника равны, если у них соответственно равны боковая сторона и угол, противолежащий основанию.
Открыть решение →Задача № 165
Прямая a проходит через середину O отрезка AB и перпендикулярна AB. Доказать: а) каждая точка a равноудалена от A и B; б) каждая точка, равноудалённая от A и B, лежит на a.
Открыть решение →Задача № 166
В ΔABC и ΔA₁B₁C₁ медианы AM и A₁M₁ равны, BC = B₁C₁ и ∠AMB = ∠A₁M₁B₁. Доказать равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁.
Открыть решение →Задача № 167
В равнобедренном ΔADE с основанием DE точки B и C лежат на DE. Доказать: а) из BD = CE следуют ∠CAD = ∠BAE и AB = AC; б) из ∠CAD = ∠BAE следуют BD = CE и AB = AC.
Открыть решение →Задача № 168
Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.
Открыть решение →Задача № 169
На сторонах равностороннего ΔABC отложены равные отрезки AD, BE и CF. Точки D, E, F соединены. Доказать, что ΔDEF равносторонний.
Открыть решение →Задача № 170
Отрезки AB и CD пересекаются в общей середине O. На AC и BD выбраны K и K₁ так, что AK = BK₁. Доказать: а) OK = OK₁; б) O лежит на прямой KK₁.
Открыть решение →Задача № 171
Отрезки AB и CD пересекаются в общей середине O. M и N — середины AC и BD. Доказать, что O — середина MN.
Открыть решение →Задача № 172
Стороны равностороннего треугольника ABC продолжены до точек D, E, F так, что AD = CE = BF. Доказать, что треугольник DEF равносторонний.
Открыть решение →Задача № 173
В треугольнике ABC углы A = 38°, B = 110°, C = 32°. На AC взяты D и E, причём D лежит между A и E, BD = DA, BE = EC. Найти ∠DBE.
Открыть решение →Задача № 174
По рисунку 101 OC = OD и OB = OE. Доказать, что AB = EF, и объяснить, как по этой идее измерить ширину озера.
Открыть решение →Задача № 175
Доказать равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁, если AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁ и AD = A₁D₁, где AD и A₁D₁ — биссектрисы.
Открыть решение →Задача № 176
В треугольниках ABC и ADC стороны BC и AD равны и пересекаются в точке O; ∠OAC = ∠OCA. Доказать, что треугольники ABO и CDO равны.
Открыть решение →Задача № 177
На рисунке 102 AC = AD и AB ⟂ CD. Доказать, что BC = BD и ∠ACB = ∠ADB.
Открыть решение →Задача № 178
Доказать, что внешний угол треугольника больше каждого из двух внутренних углов, не смежных с ним.
Открыть решение →Задача № 179
Доказать равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ и BC = B₁C₁.
Открыть решение →Задача № 180
На сторонах угла XOY точки A, C лежат на одном луче, B, D — на другом; OA = OB, AC = BD. Прямые AD и BC пересекаются в E. Доказать, что OE — биссектриса угла XOY, и описать построение.
Открыть решение →Задача № 181
С помощью метода удвоения медианы доказать равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁, если AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и медианы AM = A₁M₁.
Открыть решение →Задача № 182
Даны треугольники ABC и A₁B₁C₁: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На AC и BC взяты K, L, а на A₁C₁ и B₁C₁ — K₁, L₁; AK = A₁K₁, LC = L₁C₁. Доказать: а) KL = K₁L₁; б) AL = A₁L₁.
Открыть решение →Задача № 183
Точки A, B, C лежат на одной прямой, а D — вне этой прямой. Доказать, что по крайней мере два из отрезков AD, BD, CD не равны друг другу.
Открыть решение →Задача № 184
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) X — середина BC. На AB и AC взяты P и Q так, что ∠PXB = ∠QXC. Доказать BQ = CP.
Открыть решение →Задача № 185
Построить окружность заданного радиуса r, проходящую через данную точку A, причём её центр должен лежать на данной прямой l.
Открыть решение →Задача № 186
Построить окружность заданного радиуса r, проходящую через две данные точки A и B.
Открыть решение →Задача № 187
Даны прямая l, точки A, B и отрезок PQ. Построить треугольник ABC так, чтобы C лежала на l и AC = PQ.
Открыть решение →Задача № 188
Даны окружность, точки A, B и отрезок PQ. Построить треугольник ABC так, чтобы C лежала на данной окружности и AC = PQ.
Открыть решение →Задача № 189
На стороне BC треугольника ABC построить точку P, равноудалённую от вершин A и C.
Открыть решение →Задача № 190
С помощью циркуля и линейки разделить данный отрезок AB на четыре равные части.
Открыть решение →Задача № 191
На рисунке 111 прямые a и b пересечены секущей c. Доказать a ∥ b в трёх случаях: а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°; б) ∠1 = ∠6; в) ∠1 = 45°, ∠7 в три раза больше ∠3.
Открыть решение →Задача № 192
По отметкам рисунка 112 известно, что AC = CE и BC = CD. Требуется доказать, что AB ∥ DE.
Открыть решение →Задача № 193
Отрезки AB и CD пересекаются в общей середине O. Нужно доказать, что AC ∥ BD.
Открыть решение →Задача № 194
По отметкам рисунка 113: AB = BC и ∠BAC = ∠CAD. Требуется доказать, что BC ∥ AD.
Открыть решение →Задача № 195
На рисунке 114 даны AB = BC, AD = DE, ∠C = 70° и ∠EAC = 35°. Нужно доказать DE ∥ AC.
Открыть решение →Задача № 196
BK — биссектриса треугольника ABC. Через K проведена KM до пересечения с BC в M, причём BM = MK. Требуется доказать KM ∥ AB.
Открыть решение →Задача № 197
В треугольнике ABC угол A равен 40°, а внешний угол BCE при вершине C равен 80°. Нужно доказать, что биссектриса угла BCE параллельна AB.
Открыть решение →Задача № 198
В треугольнике ABC даны ∠A = 40° и ∠B = 70°. Через B проведена BD так, что BC — биссектриса угла ABD. Нужно доказать AC ∥ BD.
Открыть решение →Задача № 199
Нужно начертить треугольник и через каждую его вершину провести прямую, параллельную противоположной стороне, используя угольник и линейку.
Открыть решение →Задача № 200
Дан треугольник ABC и точка D на стороне AC. Через D нужно провести две прямые: одну параллельно AB, другую параллельно BC.
Открыть решение →Задача № 201
Дан треугольник ABC. Нужно определить, сколько прямых, параллельных стороне AB, можно провести через вершину C.
Открыть решение →Задача № 202
Через точку M, не лежащую на прямой p, проведены четыре различные прямые. Нужно выяснить, сколько из них пересекают p.
Открыть решение →Задача № 203
Прямые a и b перпендикулярны прямой p. Прямая c пересекает a. Нужно выяснить, пересечёт ли c прямую b.
Открыть решение →Задача № 204
Прямая p параллельна стороне AB треугольника ABC. Требуется доказать, что прямые AC и BC пересекают p.
Открыть решение →Задача № 205
На рисунке 123 даны AD ∥ p и PQ ∥ BC. Нужно доказать, что p пересекает AB, AE, AC, BC и PQ.
Открыть решение →Задача № 206
Сумма двух накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей равна 210°. Нужно найти эти углы.
Открыть решение →Задача № 207
На рисунке 124 прямые a, b, c пересечены секущей d; ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. Нужно определить параллельные прямые.
Открыть решение →Задача № 208
Две параллельные прямые пересечены секущей. Нужно найти все образованные углы: а) если один равен 150°; б) если один на 70° больше другого.
Открыть решение →Задача № 209
Концы AB лежат на параллельных прямых a и b. O — середина AB. Прямая через O пересекает a и b в C и D. Нужно доказать CO = OD.
Открыть решение →Задача № 210
По данным рисунка 125 нужно найти угол 1. На левой секущей отмечены 73° и 107°, на правой — угол 92°.
Открыть решение →Задача № 211
Даны ∠ABC = 70° и ∠BCD = 110°. Нужно выяснить, могут ли прямые AB и CD быть параллельными и могут ли они пересекаться.
Открыть решение →Задача № 212
В конфигурации задачи №211 даны углы 65° и 105°. Нужно определить, могут ли прямые AB и CD быть параллельными и могут ли они пересекаться.
Открыть решение →Задача № 213
Разность двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна 50°. Найти оба угла.
Открыть решение →Задача № 214
На рисунке две пары параллельных прямых: a ∥ b и c ∥ d. Дано ∠4 = 45°. Найти ∠1, ∠2 и ∠3.
Открыть решение →Задача № 215
Три вертикальные нити AP₁, BP₂ и CP₃ параллельны. Нужно доказать, что угол ACB равен сумме углов CAP₁ и CBP₂.
Открыть решение →Задача № 216
Две параллельные прямые пересечены секущей. Доказать свойства биссектрис накрест лежащих и односторонних углов.
Открыть решение →Задача № 217
Высоты AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в H. Угол B тупой, а ∠C = 20°. Найти ∠AHB.
Открыть решение →Задача № 218
На рисунке CE = ED, BE = EF и KE ∥ AF. Требуется доказать KE ∥ BC.
Открыть решение →Задача № 219
Через середину биссектрисы AD треугольника ABC проведён перпендикуляр к AD, который пересекает AC в M. Доказать MD ∥ AB.
Открыть решение →Задача № 220
По данным рисунка 129, а нужно найти угол 1. На одной секущей отмечены углы 65° и 115°, на другой — 121°.
Открыть решение →Задача № 221
На рисунке 129, б DE — биссектриса ∠ADF. Даны углы 78°, 102° и 48°. Найти углы треугольника ADE.
Открыть решение →Задача № 222
Прямые a и b параллельны одной и той же прямой c. Доказать, что любая прямая, пересекающая a, пересекает также b.
Открыть решение →Задача № 223
Прямые a и b пересекаются. Нужно выяснить, можно ли провести прямую, которая пересекает a и параллельна b.
Открыть решение →Задача № 224
Даны прямые a и b. Известно: всякая прямая, пересекающая a, пересекает и b. Доказать a ∥ b.
Открыть решение →Задача № 225
При пересечении двух прямых a и b секущей накрест лежащие углы не равны. Доказать, что a и b пересекаются.
Открыть решение →Задача № 226
В треугольнике ABC середина BM совпадает с серединой AC, а середина CN — с серединой AB. Доказать, что M, N и A лежат на одной прямой.
Открыть решение →Задача № 227
Даны прямая a и точка A вне неё. Построить через A прямую, параллельную a, используя циркуль и линейку.
Открыть решение →Задача № 228
Найти третий угол треугольника ABC по двум данным углам в четырёх случаях.
Открыть решение →Задача № 229
Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найти все три угла.
Открыть решение →Задача № 230
Доказать, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
Открыть решение →Задача № 231
Доказать: углы при основании равнобедренного треугольника острые, а внешние углы при основании — тупые.
Открыть решение →Задача № 232
Найти углы равнобедренного треугольника: а) угол при основании вдвое больше угла при вершине; б) угол при основании втрое меньше смежного с ним внешнего угла.
Открыть решение →Задача № 233
Найти углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен 40°, 60° или 100°.
Открыть решение →Задача № 234
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Дано ∠C = 50°. Найти ∠ADC.
Открыть решение →Задача № 235
Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке M. Даны ∠A = 58° и ∠B = 96°. Найти ∠AMB.
Открыть решение →Задача № 236
Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны BC. Доказать, что треугольник ABC прямоугольный.
Открыть решение →Задача № 237
Проверить утверждение: в равнобедренном треугольнике один из внешних углов вдвое больше несмежного с ним внутреннего угла.
Открыть решение →Задача № 238
Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.
Открыть решение →Задача № 239
Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найти углы треугольника.
Открыть решение →Задача № 240
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Дано ∠ADB = 110°. Найти углы треугольника.
Открыть решение →Задача № 241
Сравнить углы треугольника ABC и выяснить, может ли ∠A быть тупым: а) AB > BC > AC; б) AB = AC < BC.
Открыть решение →Задача № 242
Сравнить стороны треугольника ABC: а) ∠A > ∠B > ∠C; б) ∠A > ∠B = ∠C.
Открыть решение →Задача № 243
В равнобедренном треугольнике доказать: отрезок от любой внутренней точки основания до противоположной вершины меньше боковой стороны.
Открыть решение →Задача № 244
Доказать, что медиана треугольника не меньше высоты, проведённой из той же вершины.
Открыть решение →Задача № 245
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC биссектрисы углов A и C пересекаются в O. Доказать, что AOC — равнобедренный.
Открыть решение →Задача № 246
Прямая, параллельная основанию BC равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны AB и AC в M и N. Доказать, что AMN — равнобедренный.
Открыть решение →Задача № 247
Доказать: если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна одной из его сторон, то треугольник равнобедренный.
Открыть решение →Задача № 248
Через вершину C треугольника ABC проведена прямая CD, параллельная биссектрисе AA₁ и пересекающая прямую AB в D. Доказать AC = AD.
Открыть решение →Задача № 249
AD — биссектриса треугольника ABC. Через D проведена DE ∥ AC, причём E лежит на AB. Доказать, что ADE — равнобедренный.
Открыть решение →Задача № 250
Через точку O пересечения биссектрис BB₁ и CC₁ треугольника ABC проведена MN ∥ BC, M∈AB, N∈AC. Доказать MN = BM + CN.
Открыть решение →Задача № 251
В треугольнике ABC лучи BO и CO — биссектрисы. Через O проведены OE ∥ AB и OD ∥ AC, точки E и D лежат на BC. Доказать, что периметр треугольника EDO равен BC.
Открыть решение →Задача № 252
На рисунке 136 дано AB = AC и AP = AQ; прямые BQ и CP пересекаются в O. Доказать, что BOC — равнобедренный, а AO является серединным перпендикуляром к BC.
Открыть решение →Задача № 253
Проверить существование треугольников со сторонами: а) 1 м, 2 м, 3 м; б) 1,2 дм, 1 дм, 2,4 дм.
Открыть решение →Задача № 254
В равнобедренном треугольнике известны две различные длины сторон: 25 см и 10 см. Определить, какая длина является основанием.
Открыть решение →Задача № 255
Найти третью сторону равнобедренного треугольника, если две известные стороны равны: а) 7 см и 3 см; б) 8 см и 2 см; в) 10 см и 5 см.
Открыть решение →Задача № 256
Доказать, что длина любой ломаной не меньше расстояния по прямому отрезку между её концами.
Открыть решение →Задача № 257
Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр равен 74 см, одна сторона — 16 см. Найти две остальные стороны.
Открыть решение →Задача № 258
Периметр равнобедренного треугольника 25 см, две различные стороны отличаются на 4 см, а один внешний угол острый. Найти стороны.
Открыть решение →Задача № 259
Найти все углы равнобедренного прямоугольного треугольника.
Открыть решение →Задача № 260
В равнобедренном △CDE с основанием CE проведена высота CF к стороне DE. Найти ∠ECF, если ∠D = 54°.
Открыть решение →Задача № 261
В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см. Найти гипотенузу.
Открыть решение →Задача № 262
В прямоугольном △ABC угол C равен 90°, внешний угол при A равен 120°, а AC + AB = 18 см. Найти AC и AB.
Открыть решение →Задача № 263
В равностороннем △ABC со стороной 12 см точка D — середина BC. Из D опущен перпендикуляр DM на AC. Найти AM.
Открыть решение →Задача № 264
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°, а высота к боковой стороне — 9 см. Найти основание.
Открыть решение →Задача № 265
Высота к основанию равнобедренного треугольника равна 7,6 см, боковая сторона — 15,2 см. Найти углы треугольника.
Открыть решение →Задача № 266
Доказать, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания к боковым сторонам, равны.
Открыть решение →Задача № 267
Два прямоугольных треугольника имеют равные острые углы B и B₁; биссектрисы из этих вершин равны: BD = B₁D₁. Доказать равенство исходных треугольников.
Открыть решение →Задача № 268
Высоты к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного △ABC пересекаются в M. Дано ∠BMC = 140°. Найти углы △ABC.
Открыть решение →Задача № 269
Высоты AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в M. Даны ∠A = 55° и ∠B = 67°. Найти ∠AMB.
Открыть решение →Задача № 270
В равнобедренном △ABC с основанием AC проведены биссектриса AF и высота AH к прямой BC. Дано ∠B = 112°. Найти углы △AHF.
Открыть решение →Задача № 271
На сторонах угла O выбраны точки A и B так, что OA = OB. Через A и B проведены перпендикуляры к соответствующим сторонам угла; они пересекаются в C. Доказать, что OC — биссектриса угла O.
Открыть решение →Задача № 272
Доказать равенство двух остроугольных треугольников, если у них соответственно равны одна сторона и две высоты, проведённые из концов этой стороны.
Открыть решение →Задача № 273
Сформулировать и доказать признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему ему острому углу.
Открыть решение →Задача № 274
Доказать равенство двух треугольников, если у них соответственно равны два угла A и B и высоты BH, проведённые из вершины B к стороне AC.
Открыть решение →Задача № 275
Внутри данного угла дана точка A. Построить через A прямую, которая отсекает на сторонах угла равные отрезки.
Открыть решение →Задача № 276
В прямоугольном треугольнике катет против угла 30° равен 5 см. Найти медиану, проведённую к гипотенузе.
Открыть решение →Задача № 277
Две вершины треугольника — концы диаметра окружности, третья вершина лежит на окружности. Доказать, что треугольник прямоугольный.
Открыть решение →Задача № 278
В прямоугольном треугольнике ABC один острый угол равен 15°. К гипотенузе AB проведены медиана CM и высота CH. Найти AB, если CH = 4.
Открыть решение →Задача № 279
Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная. Их сумма равна 17 см, разность — 1 см. Найти расстояние от точки до прямой.
Открыть решение →Задача № 280
В равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Расстояние от D до прямой AC равно 6 см. Найти расстояние от A до прямой BC.
Открыть решение →Задача № 281
В прямоугольном треугольнике CDE гипотенуза CE и катет CD в сумме дают 31 см, а их разность равна 3 см. Найти расстояние от C до прямой DE.
Открыть решение →Задача № 282
Доказать, что середина основания равнобедренного треугольника равноудалена от его боковых сторон.
Открыть решение →Задача № 283
На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка M, равноудалённая от боковых сторон. Доказать, что CM — высота.
Открыть решение →Задача № 284
Через середину отрезка проведена произвольная прямая. Доказать, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.
Открыть решение →Задача № 285
Расстояние между параллельными a и b равно 3 см, а между параллельными a и c — 5 см. Найти расстояние между b и c.
Открыть решение →Задача № 286
Прямые AB и CD параллельны. Известно, что ∠ADC = 30° и AD = 6 см. Найти расстояние между прямыми.
Открыть решение →Задача № 287
Доказать обратное свойство: все точки по одну сторону от данной прямой, находящиеся от неё на одинаковом расстоянии, лежат на одной прямой, параллельной данной.
Открыть решение →Задача № 288
Внутри неразвёрнутого угла ABC найти множество точек, удалённых от прямой BC на расстояние, равное данному отрезку PQ.
Открыть решение →Задача № 289
Определить множество всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых.
Открыть решение →Задача № 290
Параллельные прямые a и b. Доказать, что середины всех отрезков XY, где X лежит на a, а Y — на b, лежат на одной прямой, параллельной a и b и равноудалённой от них.
Открыть решение →Задача № 291
Определить множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии d от данной прямой a.
Открыть решение →Задача № 292
Даны прямая a и отрезок AB. Построить прямую p, параллельную a, так, чтобы расстояние между a и p было равно AB.
Открыть решение →Задача № 293
Даны пересекающиеся прямые a и b и отрезок PQ. На прямой a построить точку, удалённую от b на расстояние PQ.
Открыть решение →Задача № 294
Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе, проведённой из вершины этого угла.
Открыть решение →Задача № 295
Построить треугольник по стороне, медиане к одной из двух других сторон и углу между данной стороной и медианой.
Открыть решение →Задача № 296
Даны отрезок PQ и угол hk. Построить △ABC так, чтобы AB = PQ, ∠ABC = ∠hk, а ∠BAC равнялся: а) половине ∠hk; б) четверти ∠hk.
Открыть решение →Задача № 297
Даны углы hk и h₁k₁ и отрезок PQ. Построить △ABC так, чтобы AB = PQ, ∠A = ∠hk, а ∠B = 1/2∠h₁k₁.
Открыть решение →Задача № 298
Построить прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.
Открыть решение →Задача № 299
Построить равнобедренный треугольник: а) по боковой стороне и углу при вершине; б) по основанию и углу при основании; в) по боковой стороне и углу при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и медиане к основанию.
Открыть решение →Задача № 300
Даны отрезки P₁Q₁, P₂Q₂ и P₃Q₃. Построить △ABC: а) AB = P₁Q₁, BC = P₂Q₂, CA = 2P₃Q₃; б) AB = 2P₁Q₁, BC = P₂Q₂, CA = 1/2P₃Q₃. Установить, всегда ли построение возможно.
Открыть решение →Задача № 301
Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне.
Открыть решение →Задача № 302
Построить треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон.
Открыть решение →Задача № 303
Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон.
Открыть решение →Задача № 304
В равнобедренном △ABC биссектрисы равных углов B и C пересекаются в O. Доказать, что ∠BOC равен внешнему углу треугольника при вершине B.
Открыть решение →Задача № 305
На стороне AD треугольника ADC отмечена точка B так, что BC = BD. Доказать, что DC параллельна биссектрисе угла ABC.
Открыть решение →Задача № 306
На рисунке 151 AD ∥ BE, AC = AD и BC = BE. Доказать, что ∠DCE — прямой.
Открыть решение →Задача № 307
На рисунке 152 AB = AC, а AP = PQ = QR = RB = BC. Найти угол A.
Открыть решение →Задача № 308
Доказать, что в тупоугольном треугольнике основание высоты из вершины тупого угла лежит на стороне треугольника, а основания высот из вершин острых углов — на продолжениях сторон.
Открыть решение →Задача № 309
Из точки A к прямой a проведены перпендикуляр AH и наклонные AM₁ и AM₂. Доказать: а) если HM₁ = HM₂, то AM₁ = AM₂; б) если HM₁ < HM₂, то AM₁ < AM₂.
Открыть решение →Задача № 310
Из точки A к прямой a проведены перпендикуляр AH и наклонные AM₁ и AM₂. Доказать: а) если AM₁ = AM₂, то HM₁ = HM₂; б) если AM₁ < AM₂, то HM₁ < HM₂.
Открыть решение →Задача № 311
Доказать, что в треугольнике ABC медиана AM меньше полусуммы сторон AB и AC.
Открыть решение →Задача № 312
Точка M лежит внутри треугольника ABC. Доказать, что MB + MC < AB + AC.
Открыть решение →Задача № 313
Точка M находится внутри треугольника ABC. Доказать, что MA + MB + MC меньше периметра треугольника.
Открыть решение →Задача № 314
Известно, что AB = AC + CB. Доказать методом от противного, что точки A, B и C лежат на одной прямой.
Открыть решение →Задача № 315
Доказать, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.
Открыть решение →Задача № 316
В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена высота к гипотенузе. Доказать, что исходный и два получившихся треугольника имеют соответственно равные углы.
Открыть решение →Задача № 317
В равнобедренном треугольнике ABC основание AC = 37 см, а внешний угол при вершине B равен 60°. Найти расстояние от C до прямой AB.
Открыть решение →Задача № 318
В треугольнике ABC, где AB > AC, проведены высота AH и биссектриса AD из вершины A. Доказать, что ∠HAD равен половине разности углов C и B.
Открыть решение →Задача № 319
Доказать, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным соответствующим сторонам, равны.
Открыть решение →Задача № 320
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AR к стороне BC. Доказать, что периметр △ARC меньше периметра △ABC.
Открыть решение →Задача № 321
Отрезок AD соединяет вершину A треугольника ABC с точкой D на стороне BC. Доказать, что AD меньше большей из сторон AB и AC.
Открыть решение →Задача № 322
Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.
Открыть решение →Задача № 323
Построить прямоугольный треугольник: а) по гипотенузе и острому углу; б) по катету и противолежащему углу; в) по гипотенузе и катету.
Открыть решение →Задача № 324
Циркулем и линейкой построить углы 30°, 60°, 15°, 120°, 150°, 135°, 165°, 75° и 105°.
Открыть решение →Задача № 325
Построить треугольник по стороне, высоте к этой стороне и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.
Открыть решение →Задача № 326
В треугольнике ABC построить DE ∥ AC, где D лежит на AB, E — на BC, причём DE = AD + CE.
Открыть решение →Задача № 327
В равностороннем △ABC дана точка B₁ на AC. На BC и AB построить A₁ и C₁ так, чтобы △A₁B₁C₁ был равносторонним.
Открыть решение →Задача № 328
Построить треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.
Открыть решение →Задача № 329
Построить треугольник по стороне, а также высоте и медиане, проведённым к этой стороне.
Открыть решение →Задача № 330
В прямоугольном △ABC (∠A = 90°) построить на AB точку M, расстояние от которой до прямой BC равно AM.
Открыть решение →Задача № 331
Определить геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от двух пересекающихся прямых.
Открыть решение →Задача № 332
Определить геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных параллельных прямых.
Открыть решение →Задача № 333
Для двух отрезков AB и CD построить точку M, равноудалённую от концов каждого отрезка.
Открыть решение →Задача № 334
Даны угол и отрезок AB. Построить точку M, равноудалённую от сторон угла и от точек A и B.
Открыть решение →Задача № 335
Биссектрисы внешних углов при B и C треугольника ABC пересекаются в O. Доказать, что O равноудалена от прямых AB, BC и CA.
Открыть решение →Задача № 336
Доказать, что хорда окружности, не проходящая через центр, короче диаметра.
Открыть решение →Задача № 337
Две хорды AB и AC окружности равны. Доказать, что ни одна из них не может быть диаметром.
Открыть решение →Задача № 338
Точка C находится внутри окружности и не лежит на её диаметре AB. Доказать, что угол ACB тупой.
Открыть решение →Задача № 339
Точка C находится вне окружности и не лежит на прямой диаметра AB. Доказать, что угол ACB острый.
Открыть решение →Задача № 340
Доказать, что середины двух параллельных хорд окружности лежат на одном диаметре.
Открыть решение →Задача № 341
Доказать, что равные хорды окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра.
Открыть решение →Задача № 342
Доказать обратное: хорды, одинаково удалённые от центра окружности, равны.
Открыть решение →Задача № 343
Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. Доказать, что эта прямая касается окружности.
Открыть решение →Задача № 344
Касательная a проведена к окружности с центром O. Диаметр окружности 14 см. Найти расстояние от O до a.
Открыть решение →Задача № 345
Доказать, что касательные в концах одного диаметра окружности параллельны.
Открыть решение →Задача № 346
Из точки A проведена касательная AB к окружности с центром O; B — точка касания. Известно ∠AOB = 45°, OB = 12 см. Найти AB.
Открыть решение →Задача № 347
На касательной p с точкой касания A точки расположены в порядке B–A–C–D. Определить, какие из данных отрезков и лучей сами являются касательными к окружности.
Открыть решение →Задача № 348
Две окружности вписаны в один угол. Первая касается сторон в A и D, вторая — в B и C. Доказать AB = CD.
Открыть решение →Задача № 349
Через точку A окружности проведены касательная и хорда, длина которой равна радиусу. Найти угол между ними.
Открыть решение →Задача № 350
Через концы хорды AB, равной радиусу, проведены касательные; они пересекаются в C. Найти ∠ACB.
Открыть решение →Задача № 351
AB — диаметр, AC — хорда, ∠BAC = 30°. Касательная в C пересекает прямую AB в D. Доказать, что △ACD равнобедренный.
Открыть решение →Задача № 352
Из точки A к окружности с центром O и радиусом 4,5 см проведены две касательные. OA = 9 см. Найти угол между касательными.
Открыть решение →Задача № 353
Из точки A к окружности проведены касательные AB и AC. Середина AO лежит на окружности. Найти ∠BAC.
Открыть решение →Задача № 354
На рисунке с двумя касательными из точки A к окружности дано OB = 3 см, OA = 6 см. Найти углы 3 и 4 при вершине A.
Открыть решение →Задача № 355
Прямые AB и AC касаются окружности в B и C. Дано ∠OAB = 30°, AB = 5 см. Найти BC.
Открыть решение →Задача № 356
В прямоугольном треугольнике ABC угол B = 90°. Доказать касание прямых BC и AB соответствующих окружностей и показать, что AC не является указанной касательной.
Открыть решение →Задача № 357
Хорда AH окружности равна 8 см, а центральный угол ∠AOH = 90°. Найти расстояние от центра O до прямой AH.
Открыть решение →Задача № 358
Построить касательную к данной окружности, параллельную данной прямой.
Открыть решение →Задача № 359
Построить касательную к данной окружности, перпендикулярную данной прямой.
Открыть решение →Задача № 360
Построить прямоугольный треугольник по заданной гипотенузе и высоте, проведённой к ней.
Открыть решение →Задача № 361
Построить прямоугольный треугольник по медиане и высоте, проведённым к гипотенузе.
Открыть решение →Задача № 362
Построить серединный перпендикуляр к данному отрезку.
Открыть решение →Задача № 363
Через три точки, не лежащие на одной прямой, построить окружность.
Открыть решение →Задача № 364
Для тупоугольного, прямоугольного и остроугольного треугольников построить описанные окружности и определить положение их центров.
Открыть решение →Задача № 365
Для тупоугольного, прямоугольного и остроугольного треугольников вписать окружности и определить положение их центров.
Открыть решение →Задача № 366
Доказать, что в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Открыть решение →Задача № 367
По рисунку 169 определить, какие из изображённых треугольников являются вписанными в окружность.
Открыть решение →Задача № 368
По рисунку 170 определить, какие из треугольников ABC, CED, LMN и CTS описаны около окружности.
Открыть решение →Задача № 369
Доказать, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы.
Открыть решение →Задача № 370
Стороны угла BAC = 60° касаются окружности с центром O. Радиус окружности 5 см. Найти OA.
Открыть решение →Задача № 371
В прямоугольном треугольнике гипотенуза 26 см, радиус вписанной окружности 4 см. Найти периметр.
Открыть решение →Задача № 372
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c, а сумма катетов равна m. Найти диаметр вписанной окружности.
Открыть решение →Задача № 373
В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром O и около него описана окружность с центром E. Доказать, что O и E лежат на серединном перпендикуляре к основанию.
Открыть решение →Задача № 374
Отразить точки A и B и точку C, лежащую на оси l, относительно прямой l. Сравнить соответствующие расстояния до и после отражения.
Открыть решение →Задача № 375
Дана прямая l и точка A вне неё. Построить циркулем точку A₁, симметричную A относительно l.
Открыть решение →Задача № 376
Для двух данных точек построить их ось симметрии.
Открыть решение →Задача № 377
Точки A и B симметричны относительно неизвестной прямой. Для заданной точки M построить её образ относительно той же прямой.
Открыть решение →Задача № 378
Построить треугольник, симметричный данному относительно прямой p, сначала когда p не пересекает его стороны, затем когда пересекает две стороны; сравнить стороны и углы.
Открыть решение →Задача № 379
Для отрезка, угла, равнобедренного, разностороннего и равностороннего треугольников указать оси симметрии, если они существуют.
Открыть решение →Задача № 380
Привести пример фигуры с одной осью симметрии и пример фигуры с несколькими осями.
Открыть решение →Задача № 381
Определить число осей симметрии у отрезка, прямой, луча и угла.
Открыть решение →Задача № 382
Заполнить таблицу примерами фигур: без оси симметрии, с одной, двумя, тремя и бесконечным числом осей.
Открыть решение →Задача № 383
Определить, какие из букв А, Б, Г, Е, О, F имеют ось симметрии.
Открыть решение →Задача № 384
По рисунку 179 среди точек M, N, C, Q, S найти точки, симметричные относительно прямой p точкам A и B.
Открыть решение →Задача № 385
Могут ли две точки быть симметричны относительно прямой p, если их расстояния до p равны: а) 4 и 6 см; б) 7 и 7 см; в) 11,3 и 11,4 см?
Открыть решение →Задача № 386
A₁, B₁, C₁ — образы A, B, C при отражении относительно p. Точка B лежит между A и C, AC = 5 см, BC = 3 см. Найти A₁B₁.
Открыть решение →Задача № 387
На рисунке 180а пары A, A₁ и B, B₁ симметричны относительно p. Дано AH = 27,3 см и B₁H = 7,8 см. Найти AB и A₁B₁.
Открыть решение →Задача № 388
На рисунке 180б пары A, A₁ и B, B₁ симметричны относительно p. Дано AA₁ = 5 см, BB₁ = 15 см. Найти AB и A₁B₁.
Открыть решение →Задача № 389
Определить, лежат ли образы A₁, B₁, C₁ на одной прямой, если A, B, C отражаются относительно одной оси и заданы длины: а) AB = 2 дм, AC = 10 дм, BC = 80 см; б) AB = 1,1 см, B₁C₁ = 5 см, CA = 6 см.
Открыть решение →Задача № 390
По рисунку 181 назвать пары фигур, симметричных относительно прямой p.
Открыть решение →Задача № 391
A₁, B₁, C₁ — образы вершин треугольника ABC при отражении относительно прямой a. Найти периметр A₁B₁C₁, если AB = 4,5 см, BC = 5,5 см, CA = 8,1 см.
Открыть решение →Задача № 392
BO — ось симметрии угла ABC. Треугольник BA₁C₁ является зеркальным образом треугольника ABC. Найти A₁C и AC₁, если BA = 5,4 см, BC = 35 мм.
Открыть решение →Задача № 393
Доказать: если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный, а ось симметрии является серединным перпендикуляром к основанию.
Открыть решение →Задача № 394
Доказать, что касательные, проведённые в концах хорды, которая не является диаметром окружности, пересекаются.
Открыть решение →Задача № 395
Из точки A к окружности проведены касательные AB и AC. Касательная в произвольной точке X дуги BC пересекает AB и AC в M и N. Доказать, что периметр AMN и угол MON не зависят от X.
Открыть решение →Задача № 396
Две окружности имеют общую точку M и общую касательную в M. Прямая AB касается первой окружности в A, второй — в B. Доказать, что M лежит на окружности с диаметром AB.
Открыть решение →Задача № 397
AB — диаметр окружности, а хорды BC и AD параллельны. Доказать, что CD — диаметр.
Открыть решение →Задача № 398
Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо его стороне?
Открыть решение →Задача № 399
Центр O описанной около треугольника ABC окружности лежит на медиане AM. Доказать, что треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.
Открыть решение →Задача № 400
В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром O₁, а около него описана окружность с центром O₂. Доказать, что O₁ и O₂ лежат на серединном перпендикуляре к основанию.
Открыть решение →Задача № 401
Даны прямая a, точка A на ней и точка B вне прямой. Построить окружность, проходящую через B и касающуюся a в точке A.
Открыть решение →Задача № 402
Даны две параллельные прямые и точка M, не лежащая на них. Построить окружность, проходящую через M и касающуюся обеих прямых.
Открыть решение →Задача № 403
Доказать, что образы двух параллельных прямых при осевой симметрии относительно прямой a также параллельны.
Открыть решение →Задача № 404
Доказать, что образы двух перпендикулярных прямых при осевой симметрии относительно прямой a также перпендикулярны.
Открыть решение →Задача № 405
Доказать, что прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.
Открыть решение →Задача № 406
Точка A лежит внутри угла CDE. A₁ — отражение A относительно DE, A₂ — отражение A относительно DC. Найти ∠CDE, если ∠A₁DE = 24°, ∠A₂DC = 48°.
Открыть решение →Задача № 407
Доказать, что любая прямая, проходящая через центр окружности, является осью симметрии этой окружности.
Открыть решение →Задача № 408
Две равные хорды окружности пересекаются в точке K, лежащей на некотором диаметре. Доказать, что хорды симметричны относительно прямой, содержащей этот диаметр.
Открыть решение →Задача № 409
Доказать: если треугольник имеет две оси симметрии, то он имеет и третью.
Открыть решение →Задача № 410
Даны прямые a, b, p. Сначала построить b₁, симметричную b относительно p, затем построить отрезок с концами на a и b так, чтобы p была его осью симметрии.
Открыть решение →Задача № 411
Даны прямые a, b и окружность. Построить a₁, симметричную a относительно b, а затем отрезок с концами на a и окружности так, чтобы b была его серединным перпендикуляром.
Открыть решение →Задача № 412
Построить оси симметрии двух пересекающихся прямых.
Открыть решение →Задача № 413
Число a выражает длину AB в единицах CD, а b — длину CD в единицах AB. Установить связь между a и b.
Открыть решение →Задача № 414
Длина AB равна m единицам E₁F₁ и n единицам E₂F₂. Найти длину E₁F₁ в единицах E₂F₂.
Открыть решение →Задача № 415
Пусть ∠hk — меньший из двух смежных углов ∠hk и ∠hl. Доказать формулы через половину разности этих углов.
Открыть решение →Задача № 416
Пять прямых пересекаются в одной точке. Найти сумму отмеченных на рисунке углов 1, 2, 3, 4 и 5.
Открыть решение →Задача № 417
Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Через точку пересечения любых двух проходит по крайней мере ещё одна из этих прямых. Доказать, что все шесть проходят через одну точку.
Открыть решение →Задача № 418
Даны шесть точек. Прямая через любые две из них содержит по крайней мере ещё одну данную точку. Доказать, что все шесть точек лежат на одной прямой.
Открыть решение →Задача № 419
Точки C₁ и C₂ лежат по разные стороны от AB, причём AC₁ = BC₂ и ∠BAC₁ = ∠ABC₂. Доказать, что C₁C₂ проходит через середину AB.
Открыть решение →Задача № 420
Доказать: если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника равны соответствующим данным другого, то треугольники равны.
Открыть решение →Задача № 421
Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого. Могут ли такие треугольники быть неравными?
Открыть решение →Задача № 422
Две стороны и угол одного треугольника равны каким-то двум сторонам и углу другого. Могут ли такие треугольники быть неравными?
Открыть решение →Задача № 423
Отрезки AB и CD пересекаются в O. Доказать OC = OD, если AC = AO = BO = BD.
Открыть решение →Задача № 424
Биссектрисы внешних углов при B и C треугольника ABC пересекаются в O. Найти ∠BOC, если ∠A = α.
Открыть решение →Задача № 425
Через каждую вершину треугольника проведена прямая, перпендикулярная соответствующей биссектрисе. Эти прямые вместе со сторонами образуют три треугольника. Доказать, что их углы соответственно равны.
Открыть решение →Задача № 426
Определить вид треугольника: а) сумма любых двух углов больше 90°; б) каждый угол меньше суммы двух других.
Открыть решение →Задача № 427
Доказать: угол треугольника острый, прямой или тупой, если медиана из его вершины соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны.
Открыть решение →Задача № 428
В равнобедренном ABC с основанием BC точка M внутри: ∠MBC = 30°, ∠MCB = 10°, ∠BAC = 80°. Найти ∠AMC.
Открыть решение →Задача № 429
Доказать, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей стороны этого треугольника.
Открыть решение →Задача № 430
BB₁ — биссектриса треугольника ABC. Доказать BA > B₁A и BC > B₁C.
Открыть решение →Задача № 431
Внутри треугольника ABC взята точка D, причём AD = AB. Доказать AC > AB.
Открыть решение →Задача № 432
В треугольнике ABC сторона AB больше AC, а AD — биссектриса. Доказать, что ∠ADB > ∠ADC и BD > CD.
Открыть решение →Задача № 433
Доказать: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.
Открыть решение →Задача № 434
Две стороны треугольника не равны. Доказать, что медиана из их общей вершины составляет с меньшей стороной больший угол.
Открыть решение →Задача № 435
В треугольнике ABC стороны AB и AC не равны, а M — произвольная точка стороны BC. Доказать, что треугольники AMB и AMC не равны.
Открыть решение →Задача № 436
Через вершину A треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе угла A, а из B опущен перпендикуляр BH к этой прямой. Доказать, что периметр BCH больше периметра ABC.
Открыть решение →Задача № 437
В треугольнике ABC, где AB < AC, AD — биссектриса, AH — высота. Доказать, что точка H лежит на луче DB.
Открыть решение →Задача № 438
Доказать, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из той же вершины.
Открыть решение →Задача № 439
Доказать, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины.
Открыть решение →Задача № 440
Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины, делят этот угол на три равные части. Доказать, что треугольник прямоугольный.
Открыть решение →Задача № 441
В треугольнике ABC высота AA₁ не меньше стороны BC, а высота BB₁ не меньше стороны AC. Доказать, что треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный.
Открыть решение →Задача № 442
Построить треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.
Открыть решение →Задача № 443
Построить прямоугольный треугольник ABC, если даны острый угол B и биссектриса BD.
Открыть решение →Задача № 444
Дана окружность с центром O и точка A вне неё. Провести через A прямую, пересекающую окружность в B и C так, чтобы AB = BC.
Открыть решение →Задача № 445
Построить треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведённой из вершины другого угла.
Открыть решение →Задача № 446
Построить треугольник по периметру и двум углам.
Открыть решение →Задача № 447
Даны точки A и B и прямая a, не проходящая через них. На прямой a построить точку, равноудалённую от A и B. Всегда ли задача имеет решение?
Открыть решение →Задача № 448
Построить точку на данной окружности, равноудалённую от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?
Открыть решение →Задача № 449
Через три данные точки провести окружность. Всегда ли задача имеет решение?
Открыть решение →Задача № 450
На данной окружности построить точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?
Открыть решение →Задача № 451
Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку. Построить точку, равноудалённую от этих прямых. Сколько решений имеет задача?
Открыть решение →Задача № 452
Построить треугольник по данной стороне, разности прилежащих к ней углов и сумме двух остальных сторон.
Открыть решение →Задача № 453
Две равные касающиеся окружности имеют общую касательную в точках A и B. Доказать AB = O₁O₂.
Открыть решение →Задача № 454
Даны две окружности без общих точек. Построить их общие касательные и определить их число.
Открыть решение →Задача № 455
Построить окружность, проходящую через заданную точку P и касающуюся двух параллельных прямых.
Открыть решение →Задача № 456
Через точку B построить окружность, касающуюся прямой m в заданной точке A.
Открыть решение →Задача № 457
Построить окружность, касающуюся прямой m в точке A и данной окружности.
Открыть решение →Задача № 458
В неразвёрнутый угол вписать окружность, касающуюся одной его стороны в заданной точке T.
Открыть решение →Задача № 459
Внутри острого угла дана точка A. На сторонах угла найти B и C так, чтобы периметр ABC был минимальным.
Открыть решение →Задача № 460
В прямоугольном треугольнике построить окружность с центром на катете, проходящую через вершину прямого угла и касающуюся гипотенузы.
Открыть решение →Задача № 461
Через внутреннюю точку A данной окружности провести хорду KM так, чтобы разность AK − AM равнялась данному отрезку PQ.
Открыть решение →