Атанасян, 7 класс — № 184

Коротко об условии

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) X — середина BC. На AB и AC взяты P и Q так, что ∠PXB = ∠QXC. Доказать BQ = CP.

Условие передано кратко своими словами; решение составлено автором сайта.

Решение по шагам

1. Так как AB = AC, углы при основании равны: ∠ABC = ∠BCA. Кроме того, XB = XC, потому что X — середина BC.
2. Рассмотрим треугольники PXB и QXC. В них XB = XC, ∠PXB = ∠QXC по условию, а ∠PBX = ∠QCX как углы при основании исходного равнобедренного треугольника.
3. По второму признаку ΔPXB = ΔQXC. Следовательно, PX = QX.
4. Углы BXQ и CXP являются соответственно дополнительными к равным углам QXC и PXB, поэтому ∠BXQ = ∠CXP.
5. В треугольниках BQX и CPX: BX = CX, QX = PX и углы между этими сторонами равны.
6. По первому признаку ΔBQX = ΔCPX. Следовательно, BQ = CP.

Ответ

Что важно запомнить

Если на одной прямой лежат B, X, C, то равенство одной пары углов автоматически даёт равенство их смежных углов — это часто помогает собрать второй признак равенства.