Коротко об условии
AB — диаметр, AC — хорда, ∠BAC = 30°. Касательная в C пересекает прямую AB в D. Доказать, что △ACD равнобедренный.
Условие передано кратко своими словами; решение составлено автором сайта.
Геометрия · 7 класс · № 351
Атанасян, 7 класс — № 351
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.
Проверено по переработанной нумерации 2023–2026. В более ранних изданиях номер задачи может отличаться.
Решение по шагам
- O — центр окружности и лежит на AB. Поэтому ∠OAC = ∠BAC = 30°.
- В △AOC радиусы OA и OC равны, значит ∠ACO = 30°, а ∠AOC = 120°.
- Прямая AB проходит через O, поэтому острый угол между OC и AB равен 60°.
- Касательная CD перпендикулярна OC, следовательно, угол между CD и AB равен 30°. Значит ∠CDA = 30°.
- Получили ∠CAD = ∠CDA = 30°. Поэтому противолежащие им стороны равны: CD = AC.
Ответ
△ACD равнобедренный, AC = CD.
Что важно запомнить
Касательная перпендикулярна радиусу; это превращает угол 60° между радиусом и диаметром в угол 30°.