Коротко об условии
Доказать, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на одной прямой, параллельной данной.
Условие передано кратко своими словами; решение составлено автором сайта.
Геометрия · 7 класс · № 287
Атанасян, 7 класс — № 287
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.
Проверено по переработанной нумерации 2023–2026. В более ранних изданиях номер задачи может отличаться.
Решение по шагам
- Пусть данная прямая — a, а общее расстояние до неё равно d.
- Выберем одну из таких точек M и через неё проведём прямую b, параллельную a.
- Расстояние между параллельными a и b равно d, поэтому каждая точка прямой b находится на расстоянии d от a.
- Теперь возьмём любую точку N на той же стороне от a, для которой расстояние до a равно d. Если опустить из N перпендикуляр на a, то на этом перпендикуляре по выбранную сторону от a существует ровно одна точка на расстоянии d от a.
- Эта точка одновременно принадлежит прямой b. Значит, N лежит на b.
- Следовательно, все такие точки лежат на одной прямой b, параллельной a.
Ответ
Доказано: это прямая, параллельная данной и находящаяся от неё на заданном расстоянии.
Что важно запомнить
Множество точек на фиксированном расстоянии от прямой по одну сторону от неё образует параллельную прямую.