Атанасян, 7 класс — № 252

Коротко об условии

На рисунке 136 дано AB = AC и AP = AQ; прямые BQ и CP пересекаются в O. Доказать, что BOC — равнобедренный, а AO является серединным перпендикуляром к BC.

Условие передано кратко своими словами; решение составлено автором сайта.

Решение по шагам

1. Рассмотрим треугольники ABQ и ACP. У них AB = AC и AQ = AP по условию, а угол при A общий (лучи AP и AB лежат на одной стороне угла A, AQ и AC — на другой).
2. Следовательно, △ABQ = △ACP по двум сторонам и углу между ними. Поэтому ∠ABQ = ∠ACP.
3. Так как AB = AC, в △ABC углы при основании равны: ∠ABC = ∠ACB. Вычитая равные углы, получаем ∠OBC = ∠OCB.
4. Значит, △BOC равнобедренный и OB = OC.
5. Пусть M — середина BC. В равнобедренном △ABC медиана AM к основанию является высотой, поэтому AM ⟂ BC. В равнобедренном △BOC медиана OM к тому же основанию также является высотой, поэтому OM ⟂ BC.
6. Через точку M к прямой BC можно провести только один перпендикуляр, значит прямые AM и OM совпадают. Поэтому A, O, M лежат на одной прямой, а AO проходит через середину BC и перпендикулярна BC.

Ответ

Что важно запомнить

Полезная связка: равенство двух треугольников даёт равные углы, а медиана к основанию равнобедренного треугольника является высотой.