Атанасян, 7 класс — № 454

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.

Проверено по переработанной нумерации 2023–2026. В более ранних изданиях номер задачи может отличаться.

Коротко об условии

Даны две окружности без общих точек. Построить их общие касательные и определить их число.

Условие передано кратко своими словами; решение составлено автором сайта.

Пусть центры окружностей O₁ и O₂, радиусы R и r, причём R ≥ r.
Для двух внешних общих касательных строим вспомогательную окружность с центром O₁ и радиусом R − r. Из O₂ проводим к ней касательные. Направления полученных касательных позволяют провести две прямые, касающиеся исходных окружностей с одной стороны.
Если окружности расположены вне друг друга, то есть O₁O₂ > R + r, строим ещё вспомогательную окружность радиуса R + r. Касательные из O₂ к ней дают направления двух внутренних общих касательных исходных окружностей.
Итак, у двух внешне расположенных непересекающихся окружностей получаются две внешние и две внутренние общие касательные.
Если одна окружность целиком находится внутри другой и общих точек нет, общую касательную провести нельзя.

Если окружности лежат вне друг друга — 4 общие касательные; если одна находится внутри другой — 0.

Для внешних касательных используют разность радиусов R − r, для внутренних — сумму R + r.