Атанасян, 7 класс — № 453

Коротко об условии

Две равные касающиеся окружности имеют общую касательную в точках A и B. Доказать AB = O₁O₂.

Условие передано кратко своими словами; решение составлено автором сайта.

Решение по шагам

1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания с прямой m.
2. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому O₁A ⟂ m и O₂B ⟂ m. Следовательно, O₁A ∥ O₂B.
3. Окружности равны, значит их радиусы равны: O₁A = O₂B.
4. В четырёхугольнике O₁ABO₂ одна пара противоположных сторон равна и параллельна. Значит, это параллелограмм.
5. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому AB = O₁O₂.

Ответ

Что важно запомнить

Два равных радиуса, перпендикулярных одной касательной, дают пару равных и параллельных сторон параллелограмма.