Атанасян, 7 класс — № 270

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.

Проверено по переработанной нумерации 2023–2026. В более ранних изданиях номер задачи может отличаться.

Коротко об условии

В равнобедренном △ABC с основанием AC проведены биссектриса AF и высота AH к прямой BC. Дано ∠B = 112°. Найти углы △AHF.

Условие передано кратко своими словами; решение составлено автором сайта.

Так как AB = BC, углы при основании A и C равны: ∠A = ∠C = (180° − 112°)/2 = 34°.
AF — биссектриса, поэтому ∠BAF = 17°.
В △ABF: ∠AFB = 180° − 112° − 17° = 51°.
Из-за тупого угла B основание высоты H лежит на продолжении BC за B, поэтому луч FH направлен в ту же сторону, что и FB. Значит, ∠AFH = 51°.
AH ⟂ BC, поэтому ∠AHF = 90°.
Оставшийся угол: ∠HAF = 180° − 90° − 51° = 39°.

∠HAF = 39°, ∠AHF = 90°, ∠AFH = 51°.

При тупом угле B высота из A падает на продолжение BC, поэтому важно правильно определить направление лучей в угле при F.