Атанасян, 7 класс — № 166

Коротко об условии

В ΔABC и ΔA₁B₁C₁ медианы AM и A₁M₁ равны, BC = B₁C₁ и ∠AMB = ∠A₁M₁B₁. Доказать равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁.

Условие передано кратко своими словами; решение составлено автором сайта.

Решение по шагам

1. Так как AM и A₁M₁ — медианы, BM = ½BC и B₁M₁ = ½B₁C₁. Из BC = B₁C₁ получаем BM = B₁M₁.
2. В треугольниках ABM и A₁B₁M₁: AM = A₁M₁, BM = B₁M₁ и ∠AMB = ∠A₁M₁B₁.
3. По первому признаку эти треугольники равны. Значит AB = A₁B₁ и ∠ABM = ∠A₁B₁M₁.
4. Луч BM лежит на BC, а B₁M₁ — на B₁C₁, поэтому ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.
5. Теперь в исходных треугольниках равны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁ и угол между ними. Следовательно, ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Ответ

Что важно запомнить

Медиана позволяет заменить равенство целых сторон равенством их половин и применить признак равенства.