Коротко об условии
Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке O. Найти OK:ON, если MN=5 см, NP=3 см, MP=7 см.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Точка O — центр вписанной окружности, поэтому лежит на биссектрисе NK.
- По теореме о биссектрисе MK:KP=MN:NP=5:3.
- Значит K делит сторону MP в отношении 5:3. В барицентрических координатах K=(3M+5P)/8.
- Для инцентра веса при вершинах пропорциональны противоположным сторонам: O=(3M+7N+5P)/15.
- Следовательно O=(8K+7N)/15, то есть NO:OK=8:7. Поэтому OK:ON=7:8.
Ответ
7:8.
Что важно запомнить
Инцентр имеет барицентрические веса, равные длинам противоположных сторон; это удобно для отношений на биссектрисе.