Коротко об условии
B₁ и C₁ — середины дуг AB и AC одной окружности. Хорда B₁C₁ пересекает AB в M, а AC в N. Доказать AM=AN.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Рассмотрим угол AMN. Это угол между хордами AB и B₁C₁, пересекающимися внутри окружности. Поэтому его величина равна половине суммы дуг AC₁ и BB₁.
- Так как C₁ — середина дуги AC, а B₁ — середина дуги AB, имеем дуга AC₁=½ дуги AC и дуга BB₁=½ дуги AB.
- Следовательно ∠AMN=¼(дуга AC+дуга AB).
- Аналогично ∠MNA=½(дуга AB₁+дуга CC₁)=¼(дуга AB+дуга AC). Значит, ∠AMN=∠MNA.
- Треугольник AMN равнобедренный, поэтому его стороны, лежащие против равных углов, равны: AM=AN.
Ответ
AM = AN.
Что важно запомнить
Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен половине суммы дуг, стягиваемых этим углом и вертикальным к нему.