Коротко об условии
Две прямые пересекаются в точке P, не лежащей на окружности, и высекают на окружности равные хорды AB и CD. Доказать равенство соответствующих расстояний от P до концов этих хорд.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть длина обеих хорд равна l. Сначала рассмотрим случай, когда P находится вне окружности, а A и C — ближайшие к P концы хорд.
- Обозначим PA=x, PC=y. Тогда PB=x+l, PD=y+l.
- По теореме о степени точки относительно окружности PA·PB=PC·PD. Значит, x(x+l)=y(y+l).
- После переноса получаем (x−y)(x+y+l)=0. Второй множитель положителен, поэтому x=y, то есть PA=PC. Тогда PB=PD.
- Если P находится внутри окружности, применяется та же теорема о произведениях отрезков пересекающихся хорд; при согласованном выборе соответствующих концов получаем тот же результат.
Ответ
Расстояния от P до соответствующих концов равных хорд равны.
Что важно запомнить
Степень точки — главный инструмент, когда через одну точку проходят несколько секущих окружности.