Коротко об условии
Для хорды AB данной окружности AD — расстояние от A до касательной в точке B. Доказать, что величина AB²/AD не зависит от выбора хорды.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть R — радиус окружности, а центральный угол ∠AOB=2α.
- Длина хорды AB=2R·sinα.
- Расстояние от A до касательной в B равно проекции радиуса на направление, перпендикулярное касательной: AD=R(1−cos2α)=2R·sin²α.
- Тогда AB²/AD = (4R² sin²α)/(2R sin²α)=2R.
- Полученное значение зависит только от радиуса окружности, а не от положения хорды AB.
Ответ
AB²/AD = 2R — постоянная величина.
Что важно запомнить
Формула хорды 2R·sin(α) и тождество 1−cos2α=2sin²α часто дают постоянные отношения в задачах с касательной.