Коротко об условии
Через общую точку A двух окружностей проведена прямая, повторно пересекающая их в B и C. Доказать, что BC максимально, когда эта прямая параллельна линии центров O₁O₂.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть M и N — середины хорд AB и AC. Радиусы, проведённые к серединам хорд, перпендикулярны хордам, поэтому M и N — ортогональные проекции центров O₁ и O₂ на проведённую прямую.
- Так как A,M,B лежат на одной прямой и M — середина AB, имеем AB=2AM. Аналогично AC=2AN.
- В ориентированных отрезках BC=|AC−AB|=2|AN−AM|=2MN.
- MN — длина проекции отрезка O₁O₂ на данную прямую. Любая проекция не превосходит длины самого отрезка: MN≤O₁O₂.
- Равенство достигается ровно тогда, когда направление проектирования совпадает с O₁O₂, то есть секущая через A параллельна O₁O₂. Следовательно именно в этом положении BC наибольший.
Ответ
BC максимально при секущей, параллельной O₁O₂.
Что важно запомнить
Середина хорды — основание перпендикуляра из центра окружности. Это позволяет превращать длины хорд в проекции.