Коротко об условии
AB — диаметр окружности с центром O. На каждом радиусе OM откладывают от O отрезок, равный расстоянию от M до прямой AB. Найти геометрическое место концов этих отрезков.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Выберем координаты: O=(0,0), AB — ось Ox, радиус исходной окружности равен R. Пусть M=(R cosθ, R sinθ).
- Расстояние от M до AB равно R|sinθ|. Поэтому конец P искомого отрезка на луче OM имеет полярный радиус OP=R|sinθ|.
- Для верхней полуокружности sinθ≥0, поэтому P=(R sinθ cosθ, R sin²θ). Проверка даёт x²+(y−R/2)²=(R/2)².
- Это окружность с диаметром OC, где C — конец диаметра исходной окружности, перпендикулярного AB, лежащий сверху.
- Для нижней полуокружности аналогично получается окружность с диаметром OD, где D — противоположный конец того же перпендикулярного диаметра.
Ответ
Искомое множество — две окружности с диаметрами OC и OD, где CD ⟂ AB — диаметр исходной окружности.
Что важно запомнить
Уравнение в полярных координатах r=R sinθ задаёт окружность диаметра R, проходящую через начало координат.