Коротко об условии
ABC — равносторонний треугольник. Внутри угла ABC взята точка M, причём ∠BMC=30°, ∠BMA=17°. Найти ∠BAM и ∠BCM.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Проведём окружность с центром A и радиусом AB. Так как AB=AC, точки B и C лежат на этой окружности.
- Возьмём точку E на меньшей дуге BC. Центральный угол BAC равен 60°, поэтому меньшая дуга BC равна 60°, а большая — 300°. Значит, вписанный угол BEC, опирающийся на большую дугу, равен 150°.
- По условию ∠BMC=30°, поэтому ∠BEC+∠BMC=180°. Следовательно четырёхугольник BECM вписанный. Но через B,C,E проходит уже построенная окружность, значит M также лежит на ней.
- Отсюда AM=AB. В равнобедренном треугольнике AMB углы при основании равны: ∠ABM=∠BMA=17°. Поэтому ∠BAM=180°−17°−17°=146°.
- В четырёхугольнике ABCM сумма углов 360°. При M угол AMC=∠AMB+∠BMC=17°+30°=47°. Тогда ∠BCM=360°−60°−146°−47°=107°.
Ответ
∠BAM = 146°, ∠BCM = 107°.
Что важно запомнить
Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, вокруг него можно описать окружность.