Коротко об условии
Через каждую вершину треугольника проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе соответствующего угла. Эти три прямые образуют новый треугольник. Доказать, что его вершины лежат на прямых, содержащих биссектрисы исходного треугольника.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Прямая через B, перпендикулярная внутренней биссектрисе угла B, является внешней биссектрисой этого угла. Любая её точка равноудалена от прямых BA и BC.
- Аналогично прямая через C, перпендикулярная внутренней биссектрисе угла C, является внешней биссектрисой и её точки равноудалены от CB и CA.
- Пусть P — точка пересечения этих двух прямых. Тогда расстояние от P до AB равно расстоянию до BC, а расстояние до BC равно расстоянию до AC.
- Следовательно P равноудалена от прямых AB и AC, а значит лежит на одной из биссектрис угла A — на прямой, содержащей внутреннюю биссектрису.
- Точно так же две другие вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы углов B и C.
Ответ
Все три вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы исходного треугольника.
Что важно запомнить
Точка лежит на биссектрисе угла тогда и только тогда, когда она равноудалена от сторон этого угла.