Коротко об условии
H — ортоцентр треугольника ABC. A₁,B₁,C₁ — отражения H относительно сторон BC,CA,AB; A₂,B₂,C₂ — отражения H относительно середин этих сторон. Доказать, что все шесть точек лежат на описанной окружности ABC.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Рассмотрим A₁ — отражение H относительно BC. Отражение сохраняет углы, поэтому ∠BA₁C=∠BHC.
- Так как BH ⟂ AC и CH ⟂ AB, получаем ∠BHC=180°−∠A. Значит, ∠BA₁C+∠BAC=180°, следовательно A,B,A₁,C лежат на одной окружности — именно на описанной около ABC.
- Теперь рассмотрим A₂ — отражение H относительно середины M стороны BC. Точка M является серединой и BC, и HA₂, поэтому четырёхугольник BHCA₂ — параллелограмм.
- Отсюда BA₂ ∥ HC и CA₂ ∥ HB. Поэтому ∠BA₂C=∠CHB=180°−∠A, и снова A,B,A₂,C лежат на описанной окружности.
- Те же рассуждения для двух других сторон дают принадлежность окружности точек B₁,C₁,B₂,C₂.
Ответ
A₁,B₁,C₁,A₂,B₂,C₂ лежат на окружности, описанной около ABC.
Что важно запомнить
Отражение ортоцентра относительно стороны и относительно середины стороны приводит к точкам на описанной окружности.