Коротко об условии
BD — биссектриса треугольника ABC, D∈AC. Доказать формулу BD²=AB·BC−AD·DC.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Обозначим BC=a, AB=c, AC=b, AD=m, DC=n, BD=d. Тогда b=m+n.
- По теореме о биссектрисе m/n=c/a. Отсюда m=bc/(a+c), n=ab/(a+c).
- Применим теорему Стюарта к cevian BD: a²m+c²n=b(d²+mn).
- Подставляя выражения для m и n, получаем a²·bc/(a+c)+c²·ab/(a+c)=abc=b·ac. Следовательно d²+mn=ac.
- Значит d²=ac−mn, то есть BD²=AB·BC−AD·DC.
Ответ
BD² = AB·BC − AD·DC.
Что важно запомнить
Формула длины биссектрисы удобно получается из теоремы Стюарта вместе с теоремой о биссектрисе.