Коротко об условии
В треугольнике ABC из B проведены высота BH и биссектриса BE; E лежит на описанной окружности. Доказать, что BE является биссектрисой угла OBH, где O — центр окружности.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Обозначим ∠A=α, ∠C=γ. Так как BE — биссектриса, ∠ABE=½∠B.
- Поскольку BH ⟂ AC, угол между BA и BH равен |90°−α|. После вычитания половины угла B получаем ∠EBH=|γ−α|/2.
- Точка E — середина дуги AC, не содержащей B. Поэтому дуги AE и EC равны и каждая имеет градусную меру ∠B.
- Меньшая дуга BE имеет меру 180°−|γ−α|, значит центральный угол ∠BOE=180°−|γ−α|.
- В равнобедренном треугольнике BOE (OB=OE) ∠OBE=(180°−∠BOE)/2=|γ−α|/2. Следовательно ∠OBE=∠EBH.
Ответ
BE биссектриса угла OBH.
Что важно запомнить
Внутренняя биссектриса треугольника пересекает описанную окружность в середине дуги, противоположной вершине.