Коротко об условии
X — произвольная точка описанной окружности равностороннего треугольника ABC. Доказать, что один из отрезков AX, BX, CX равен сумме двух других.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть точки на окружности расположены, например, в порядке A,B,C,X. Тогда четырёхугольник ABXC вписанный.
- Применим теорему Птолемея: AX·BC = AB·CX + BX·AC.
- Треугольник ABC равносторонний, поэтому AB=BC=CA=a.
- После деления равенства на a получаем AX=BX+CX.
- Если X лежит на другой дуге, аналогичное применение теоремы Птолемея даёт равенство для другого из трёх отрезков. В любом случае самый длинный из AX,BX,CX равен сумме двух остальных.
Ответ
Один из отрезков AX, BX, CX равен сумме двух других (какой именно — зависит от дуги, на которой лежит X).
Что важно запомнить
Теорема Птолемея особенно проста для вписанного четырёхугольника, три вершины которого образуют равносторонний треугольник.