Коротко об условии
Диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны. Доказать, что сумма квадратов противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть радиус описанной окружности равен R. Обозначим α=∠ADB. Тогда хорда AB=2R·sinα.
- Диагонали AC и BD перпендикулярны. Поэтому угол ∠CAD, измеряющий поворот от CA к AD, дополняет α до 90°: ∠CAD=90°−α.
- Хорда CD=2R·sin∠CAD=2R·cosα.
- Следовательно AB²+CD²=4R²(sin²α+cos²α)=4R²=(2R)².
- Аналогично для другой пары противоположных сторон получаем AD²+BC²=4R².
Ответ
AB²+CD² = AD²+BC² = (2R)².
Что важно запомнить
Длина хорды, стягивающей вписанный угол α, равна 2R·sinα.