Коротко об условии
ABCD — вписанный четырёхугольник. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K на стороне CD. Доказать CD=BC+AD.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Через K проведём прямую EP∥AB, где E∈AD, P∈BC.
- Так как ABCD вписан, ∠DAB+∠BCD=180°. Из EP∥AB следует ∠AEP+∠DAB=180°, поэтому ∠BCD=∠AEP. Кроме того, ∠DKE=∠PKC как вертикальные. Значит, треугольники KDE и KPC подобны.
- Точка K лежит на биссектрисах углов A и B, поэтому она равноудалена от AD и AB, а также от BC и AB. Следовательно расстояния от K до AD и BC равны. В подобных треугольниках KDE и KPC соответствующие высоты равны, значит коэффициент подобия равен 1: треугольники равны. Поэтому DK=KP, KC=KE и DE=PC.
- В треугольнике AEK из EP∥AB имеем ∠EKA=∠KAB. Но AK — биссектриса, поэтому ∠EAK=∠KAB. Значит, AE=EK. Аналогично KP=BP.
- Теперь CD=DK+KC=KP+KE=BP+AE=(BC−PC)+(AD+DE)=BC+AD, поскольку DE=PC.
Ответ
CD = BC + AD.
Что важно запомнить
В задачах с двумя биссектрисами полезно использовать равноудалённость их точки пересечения от соответствующих сторон.