Коротко об условии
Доказать, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть основания трапеции равны a и b, высота h, а наклонная боковая сторона l. Так как окружность касается обеих параллельных оснований, h=2r.
- Для любого описанного четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны. Поэтому a+b=h+l, то есть l=a+b−h.
- В прямоугольной трапеции наклонная сторона, высота и разность оснований образуют прямоугольный треугольник: l²=h²+(a−b)².
- Подставим l=a+b−h: (a+b−h)²=h²+(a−b)². После раскрытия скобок получаем 4ab=2h(a+b).
- Следовательно h(a+b)/2=ab. Левая часть — площадь трапеции, значит S=ab.
Ответ
S = ab, где a и b — основания трапеции.
Что важно запомнить
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.