Коротко об условии
Доказать теорему Птолемея: во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть ABCD вписан в окружность. На диагонали AC выберем точку E так, чтобы ∠ABE=∠DBC.
- Так как ∠BAE=∠BAC=∠BDC, треугольники ABE и DBC подобны. Отсюда AE·BD=AB·CD.
- Из первого подобия ∠BEA=∠BCD, поэтому ∠BEC=180°−∠BCD=∠BAD (противоположные углы вписанного четырёхугольника дополняют друг друга до 180°). Кроме того, ∠BCE=∠BCA=∠BDA. Значит, треугольники BEC и BDA подобны.
- Из второго подобия EC·BD=BC·AD.
- Складываем два равенства: (AE+EC)BD=AB·CD+BC·AD. Но AE+EC=AC. Поэтому AC·BD=AB·CD+BC·AD.
Ответ
AC·BD = AB·CD + BC·AD.
Что важно запомнить
Классическое доказательство Птолемея строится на одной вспомогательной точке на диагонали и двух парах подобных треугольников.