Коротко об условии
Для треугольника доказать формулу Эйлера: d²=R²−2Rr, где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей, d=OI.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть I — инцентр, O — центр описанной окружности. Биссектриса AI пересекает описанную окружность вторично в точке M. Тогда M — середина дуги BC, не содержащей A.
- Из свойства середины дуги следует MB=MC=MI. Кроме того, ∠MAB=A/2, поэтому хорда MB=2R·sin(A/2). Значит, MI=2R·sin(A/2).
- Опустим из I перпендикуляр к AB. Его длина r. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой AI имеем r=AI·sin(A/2), то есть AI=r/sin(A/2).
- Следовательно AI·IM = [r/sin(A/2)]·[2R sin(A/2)] = 2Rr.
- По теореме о степени точки I внутри описанной окружности AI·IM=R²−OI². Значит, R²−OI²=2Rr, откуда OI²=R²−2Rr.
Ответ
d² = R² − 2Rr.
Что важно запомнить
Для инцентра удобно использовать точку M — середину дуги BC: она лежит на биссектрисе AI и удовлетворяет MI=MB.