Коротко об условии
Доказать, что основания высот, середины отрезков от вершин до ортоцентра и середины сторон неравностороннего треугольника лежат на одной окружности (окружность Эйлера).
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть O — центр описанной окружности, H — ортоцентр, N — середина OH. Покажем, что все девять указанных точек находятся на расстоянии R/2 от N.
- Рассмотрим середину A₂ отрезка AH. В векторной записи относительно O: вектор H=a+b+c, где a,b,c — радиус-векторы вершин и |a|=|b|=|c|=R. Тогда N=(a+b+c)/2, A₂=(a+H)/2. Поэтому A₂−N=a/2 и NA₂=R/2.
- Для середины A₃ стороны BC имеем A₃=(b+c)/2, поэтому A₃−N=−a/2 и NA₃=R/2. Аналогично для остальных четырёх середин.
- Пусть A₁ — основание высоты из A, а Hₐ — отражение H относительно BC. Из задачи о отражении ортоцентра Hₐ лежит на описанной окружности. Точка A₁ — середина HHₐ. При гомотетии с центром H и коэффициентом 1/2 описанная окружность переходит в окружность с центром N и радиусом R/2; Hₐ переходит в A₁.
- Следовательно A₁ также лежит на этой окружности. То же верно для B₁ и C₁. Итак, все девять точек лежат на окружности с центром N и радиусом R/2.
Ответ
Все девять точек лежат на окружности с центром в середине OH и радиусом R/2.
Что важно запомнить
Окружность Эйлера имеет центр в середине отрезка между центром описанной окружности и ортоцентром, а её радиус равен R/2.