Коротко об условии
Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры на прямые AB, BC, CA. Доказать, что основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой (прямая Симпсона).
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Обозначим основания перпендикуляров к AB, BC, CA через Z, X, Y соответственно.
- Так как ∠PZA=∠PYA=90°, четырёхугольник PZAY вписанный. Поэтому ∠PYZ=∠PAZ=∠PAB.
- Так как ∠PXC=∠PYC=90°, четырёхугольник PXYC также вписанный. Поэтому ∠PYX=∠PCX=∠PCB.
- Но A,B,C,P лежат на одной окружности, поэтому ∠PAB=∠PCB: оба вписанных угла опираются на одну хорду PB.
- Следовательно ∠PYZ=∠PYX. Лучи YZ и YX лежат по одну сторону от YP и образуют с ним равные углы, значит они совпадают. Точки X,Y,Z коллинеарны.
Ответ
Основания трёх перпендикуляров лежат на одной прямой — прямой Симпсона.
Что важно запомнить
Два прямых угла сразу дают вписанный четырёхугольник; это основа короткого доказательства теоремы Симпсона.