Коротко об условии
Дана описанная окружность и три точки A, B, M на ней. Через эти точки должны проходить соответственно прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану, проведённые из одной вершины искомого треугольника.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Чтобы не путать данную точку A с вершинами искомого треугольника, обозначим её H. Пусть O — центр данной окружности, B — данная точка на прямой биссектрисы, M — данная точка на прямой медианы.
- Проводим прямую OB. Через H проводим прямую, параллельную OB. Её второе пересечение с данной окружностью обозначим P. Точка P будет общей вершиной, из которой выходят высота, биссектриса и медиана.
- Соединяем P с M. Пусть N=PM∩OB.
- Через N проводим прямую q, перпендикулярную OB. Она пересекает данную окружность в двух точках Q и R. Строим треугольник PQR.
- Так как O лежит на OB и OB⊥QR, точка N является серединой хорды QR. Следовательно PN — медиана, а прямая PM действительно содержит медиану.
- Кроме того, PH∥OB и QR⊥OB, значит PH⊥QR: прямая PH содержит высоту из P.
- Наконец, B лежит на перпендикулярном биссекторе хорды QR, поэтому BQ=BR. Равные хорды стягивают равные дуги, следовательно ∠QPB=∠BPR. Значит PB — биссектриса угла QPR.
- Таким образом, PQR — искомый треугольник. Если на одном из шагов получается вырожденная конфигурация, соответствующего решения нет.
Ответ
Провести OB; через данную точку на высоте — параллель OB до второго пересечения P с окружностью; затем N=PM∩OB и через N провести перпендикуляр к OB. Его пересечения Q,R с окружностью дают искомый △PQR.
Что важно запомнить
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности. Если точка окружности лежит на этом перпендикуляре, она делит соответствующую дугу пополам — это сразу даёт биссектрису вписанного угла.