Коротко об условии
Построить треугольник: а) по данной стороне, противолежащему ей углу и высоте к этой стороне; б) по данному углу, высоте из его вершины и периметру.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- а) Пусть дана сторона BC=a, угол A=α и высота hₐ. Строим отрезок BC=a. Затем строим окружность (точнее, две симметричные дуги), из точек которой хорда BC видна под углом α. Это стандартное ГМТ: через B проводим касательную, образующую с BC угол α; центр окружности лежит на перпендикуляре к этой касательной в B и на серединном перпендикуляре к BC.
- На расстоянии hₐ от прямой BC проводим две прямые, параллельные BC. Их точки пересечения с построенными дугами дают возможные положения вершины A. Соединяем A с B и C. Каждая полученная точка A автоматически даёт ∠BAC=α и высоту hₐ.
- б) Пусть дан угол α, высота h и периметр P. Строим угол XAY=α и откладываем на обоих его лучах AU=AV=P/2.
- Через U и V проводим перпендикуляры к AX и AY; они пересекутся в точке J. Окружность ω(J,JU) касается обоих лучей угла в U и V. В искомом треугольнике это будет вневписанная окружность, противоположная вершине A: для неё расстояния от A до точек касания со сторонами равны полупериметру.
- Строим окружность γ с центром A и радиусом h. Прямая BC должна быть касательной к γ (тогда расстояние от A до BC равно h) и одновременно касательной к ω. Поэтому строим общие касательные окружностей γ и ω и выбираем те, которые пересекают лучи AX и AY в точках B и C нужной конфигурации.
- Проверка периметра: если ω касается BC в K, то BU=BK и CV=CK. Поэтому AB+AC+BC=(AU−BU)+(AV−CV)+(BK+CK)=AU+AV=P. Значит, построенный треугольник удовлетворяет всем данным.
Ответ
а) вершина A находится как пересечение дуги, на которой BC видна под данным углом, с прямой, параллельной BC на расстоянии hₐ. б) сторона BC строится как подходящая общая касательная к окружности (A,h) и вневписанной окружности, заданной углом A и полупериметром P/2.
Что важно запомнить
В задачах на построение полезно заменять условия геометрическими местами. Для пункта б) ключевой факт: точка касания A-вневписанной окружности со стороной угла находится от A на расстоянии, равном полупериметру.