Коротко об условии
Внутри окружности дана точка P. Построить проходящую через P хорду наименьшей возможной длины.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть O — центр окружности. Проведём радиус OP.
- Через P построим прямую l, перпендикулярную OP. Пусть она пересекает окружность в точках A и B. Хорда AB — кандидат на наименьшую.
- Для любой хорды, лежащей на прямой через P, её длина тем меньше, чем больше расстояние от центра O до этой прямой: если расстояние равно d, то половина хорды равна √(R²−d²).
- Среди всех прямых, проходящих через P, наибольшее расстояние от O имеет именно прямая, перпендикулярная OP: это расстояние равно OP. Для любой другой прямой через P длина перпендикуляра из O меньше OP.
- Следовательно, хорда AB имеет минимальную длину. Если P совпадает с O, любая проходящая через P хорда является диаметром, поэтому все такие хорды равны.
Ответ
Провести через данную точку P прямую, перпендикулярную OP. Отсекаемая ею хорда — наименьшая (при P=O все хорды через P равны диаметру).
Что важно запомнить
В окружности более удалённая от центра хорда короче. Поэтому задачу на минимальную хорду сводим к максимизации расстояния от центра до её прямой.