Коротко об условии
Даны окружность с центром O, точка M и два отрезка. Построить прямую p так, чтобы данная окружность отсекала на ней хорду заданной длины, а расстояние от M до p было равно длине второго отрезка.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Обозначим радиус данной окружности через R, требуемую длину хорды через c, а заданное расстояние от точки M до прямой — через h. Сначала проверяем возможность: если c>2R, такой хорды не существует.
- Построим в данной окружности любую хорду XY длины c. Пусть N — середина XY. Тогда ON перпендикулярно XY, а длина d=ON — расстояние от центра O до любой хорды длины c.
- Построим две вспомогательные окружности: ω₁ с центром O и радиусом d=ON и ω₂ с центром M и радиусом h.
- Проведём все общие касательные к окружностям ω₁ и ω₂. Каждая такая касательная p находится на расстоянии d от O и на расстоянии h от M.
- Так как расстояние от O до p равно d, данная исходная окружность отсекает на p хорду той же длины, что и XY, то есть c. А расстояние от M до p по построению равно h. Поэтому каждая построенная общая касательная является искомой.
- Число решений равно числу подходящих общих касательных вспомогательных окружностей; в зависимости от исходных данных их может быть несколько, одна или ни одной.
Ответ
Искомые прямые — общие касательные к вспомогательным окружностям с центрами O и M и радиусами соответственно d (расстояние от O до хорды заданной длины) и h.
Что важно запомнить
Все хорды одной окружности, равноудалённые от её центра, равны. Условие «расстояние от точки до прямой равно h» удобно заменять условием касания окружности радиуса h.