Коротко об условии
Доказать, что из неколлинеарности a и b следует неколлинеарность трёх указанных пар линейных комбинаций этих векторов.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- а) Предположим a+b=k(a−b). Тогда (1−k)a+(1+k)b=0. Из неколлинеарности a и b оба коэффициента равны нулю: k=1 и k=−1 — противоречие.
- б) Если 2a−b=k(a+b), то (2−k)a+(−1−k)b=0. Получаем одновременно k=2 и k=−1 — невозможно.
- в) Если a+b=k(a+3b), то (1−k)a+(1−3k)b=0. Отсюда k=1 и k=1/3 — противоречие.
- Во всех трёх случаях предположение о коллинеарности приводит к невозможной системе.
Ответ
Все три пары векторов неколлинеарны.
Что важно запомнить
Для двух неколлинеарных векторов равенство αa+βb=0 возможно только при α=β=0.