Задание № 926
По трём неколлинеарным точкам A, B и C выписать все ненулевые векторы, у которых начало и конец совпадают с двумя из этих точек.
Смотреть решение →Геометрия · 9 класс
Геометрия 9 класс — Атанасян: решения
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.
Проверено по переработанной нумерации 2023–2026. В изданиях 2013–2022 эти же номера относятся к другим задачам.
Готовы № 926–1431 и все 6 комплексных заданий. Главы XIII и XIV опубликованы полностью. В главе XV опубликованы все нумерованные задания, а после №1431 отдельно добавлен раздел «Комплексные задания» для 7–9 классов.
Задание № 927
Самолёт перемещается из A в B на 300 км к югу, затем из B в C на 500 км к востоку. Нужно построить эти перемещения в масштабе и вектор AC.
Смотреть решение →Задание № 928
Построить векторы заданных длин с указанными условиями коллинеарности: в одном случае все три коллинеарны, в другом два коллинеарны, а третий — нет.
Смотреть решение →Задание № 929
Даны два неколлинеарных вектора a и b. Построить несколько векторов, сонаправленных и противоположно направленных каждому из них.
Смотреть решение →Задание № 930
Построить пары векторов одинаковой длины: неколлинеарные; сонаправленные; противоположно направленные. Определить, в каком случае векторы равны.
Смотреть решение →Задание № 931
Дан ненулевой вектор a и точки A, B, C. От каждой из трёх точек нужно отложить вектор, равный a.
Смотреть решение →Задание № 932
Из списка физических и геометрических величин определить векторные: скорость, масса, сила, время, температура, длина, площадь, работа.
Смотреть решение →Задание № 933
В прямоугольнике ABCD даны AB=3, BC=4, а M — середина AB. Найти длины нескольких векторов, заданных сторонами, диагональю и отрезком MC.
Смотреть решение →Задание № 934
В прямоугольной трапеции ABCD угол A прямой, AD=12, AB=5, угол D=45°. Найти длины векторов BD, CD и AC.
Смотреть решение →Задание № 935
Для параллелограмма MNPQ, трапеции ABCD с основаниями AD и BC и треугольника FGH указать коллинеарные векторы, задаваемые сторонами, и определить их направления.
Смотреть решение →Задание № 936
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в O. Проверить равенство четырёх пар векторов: AB и DC; BC и DA; AO и OC; AC и BD.
Смотреть решение →Задание № 937
В равнобедренной трапеции MNLK точки S и T — середины боковых сторон MN и LK. Проверить равенство пяти указанных пар векторов.
Смотреть решение →Задание № 938
Доказать: векторы AB и CD равны тогда и только тогда, когда середины отрезков AD и BC совпадают.
Смотреть решение →Задание № 939
Определить вид четырёхугольника ABCD при двух наборах векторных условий: а) AB=DC и |AB|=|BC|; б) AB сонаправлен DC, а AD и BC неколлинеарны.
Смотреть решение →Задание № 940
Для пяти утверждений о равенстве, коллинеарности, сонаправленности и нулевом векторе определить, верны они или нет.
Смотреть решение →Задание № 941
Турист проходит 20 км на восток из A в B и затем ещё 30 км на восток из B в C. Построить векторы и сравнить AB+BC с AC.
Смотреть решение →Задание № 942
Даны попарно неколлинеарные векторы x, y, z. Построить суммы x+y, x+z и z+y.
Смотреть решение →Задание № 943
Даны пять попарно неколлинеарных векторов a, b, c, d, e. Построить их сумму по правилу многоугольника.
Смотреть решение →Задание № 944
Даны попарно неколлинеарные векторы x, y, z. Построить разности x−y, z−y, x−z и противоположные векторы −x, −y, −z.
Смотреть решение →Задание № 945
Векторы x и y сонаправлены, а x и z противоположно направлены. Построить x+y, y−z и x+z.
Смотреть решение →Задание № 946
Даны два ненулевых коллинеарных вектора a и b. Нужно построить a−b, b−a и −a+b сначала при разных длинах, затем при равных.
Смотреть решение →Задание № 947
Для произвольного четырёхугольника MNPQ нужно доказать два равенства сумм векторов, соединяющих его вершины.
Смотреть решение →Задание № 948
Нужно доказать строгое неравенство |x+y| < |x|+|y| для двух неколлинеарных векторов x и y.
Смотреть решение →Задание № 949
Для произвольных точек A, B, C, D требуется доказать, что сумма AB+BC+CD+DA равна нулевому вектору.
Смотреть решение →Задание № 950
В равностороннем треугольнике ABC со стороной a нужно найти модули пяти сумм и разностей векторов, составленных из его сторон.
Смотреть решение →Задание № 951
В прямоугольном треугольнике ABC даны AB=6, BC=8 и угол B=90°. Нужно сравнить разности/суммы модулей с модулями соответствующих сумм и разностей векторов.
Смотреть решение →Задание № 952
По правилу многоугольника нужно упростить два выражения с векторами AB, BC, MC, MD, KD и другими отрезками.
Смотреть решение →Задание № 953
Для произвольных точек X, Y, Z нужно доказать, что три заданных векторных выражения p, q и r равны нулю.
Смотреть решение →Задание № 954
На рисунке 297 заданы векторы a, b, c, d вдоль ломаной между X и Y. Нужно выразить вектор XY через эти четыре вектора или противоположные им.
Смотреть решение →Задание № 955
В треугольнике ABC заданы a=AB и b=AC. Нужно выразить BA, CB и сумму CB+BA через a и b.
Смотреть решение →Задание № 956
M и N — середины AB и AC треугольника ABC. При a=AM и b=AN нужно выразить BM, NC, MN и BN.
Смотреть решение →Задание № 957
BB₁ — медиана треугольника ABC. При x=AB₁ и y=AB нужно выразить B₁C, BB₁, BA и BC.
Смотреть решение →Задание № 958
Для параллелограмма ABCD нужно выразить диагональ AC через a и b в трёх разных вариантах задания этих векторов.
Смотреть решение →Задание № 959
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в O. При a=AB и b=AD нужно выразить четыре комбинации векторов через a и b.
Смотреть решение →Задание № 960
В параллелограмме ABCD и для произвольной точки X нужно доказать равенство XA+XC=XB+XD.
Смотреть решение →Задание № 961
Для любых векторов x и y нужно доказать |x−y|≤|x|+|y| и определить, когда достигается равенство.
Смотреть решение →Задание № 962
Парашютист спускается вертикально со скоростью 3 м/с, а ветер сообщает ему горизонтальную скорость 3√3 м/с. Нужно найти угол траектории с вертикалью.
Смотреть решение →Задание № 963
Даны два неколлинеарных вектора p и q с разными началами и точка O. От O нужно отложить векторы 2p и ½q.
Смотреть решение →Задание № 964
Для двух неколлинеарных векторов x и y нужно построить шесть линейных комбинаций, затем повторить построение для коллинеарных ненулевых x и y.
Смотреть решение →Задание № 965
Даны неколлинеарные векторы p и q с разными началами. Нужно построить m=2p−½q, n=p+3q, l=−2p−½q и s=⅔q−p.
Смотреть решение →Задание № 966
Даны три попарно неколлинеарных вектора a, b и c. Нужно построить векторы 2a+3b−4c и ½a−b+⅓c.
Смотреть решение →Задание № 967
Дан вектор p=3a, где a≠0. Нужно определить направление векторов a, −a, ½a, −2a, 6a относительно p и выразить их длины через |p|.
Смотреть решение →Задание № 968
Нужно доказать для любого вектора a равенства 1·a=a и (−1)·a=−a.
Смотреть решение →Задание № 969
Пусть x=m+n, y=m−n. Нужно выразить через m и n векторы: 2x−2y; 2x+½y; −x−⅓y.
Смотреть решение →Задание № 970
В параллелограмме ABCD точки E и G — середины сторон AD и BC. Дано: вектор DC=a, вектор BC=b. Нужно выразить векторы EC и AG через a и b.
Смотреть решение →Задание № 971
Точка M лежит на стороне BC параллелограмма ABCD, причём BM:MC=3:1. Дано: a=AD, b=AB. Нужно выразить векторы AM и MD.
Смотреть решение →Задание № 972
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в O. Точка M лежит на AD и AM=½MD. Дано x=AD, y=AB. Нужно выразить через x и y несколько векторов, связанных с A, B, C, D, O и M.
Смотреть решение →Задание № 973
M и N — середины диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Нужно доказать векторное равенство MN=½(AD+CB).
Смотреть решение →Задание № 974
AA₁, BB₁ и CC₁ — медианы треугольника ABC. Дано a=AC, b=AB. Нужно выразить векторы AA₁, BB₁ и CC₁ через a и b.
Смотреть решение →Задание № 975
В треугольнике DEF точка O — середина медианы EG. Дано a=ED, b=EF. Нужно выразить вектор DO через a и b.
Смотреть решение →Задание № 976
Для произвольного треугольника ABC нужно доказать, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам исходного треугольника.
Смотреть решение →Задание № 977
На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы ABB₁A₂, BCC₁B₂ и ACC₂A₁. Нужно доказать, что существует треугольник со сторонами, соответственно параллельными и равными A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂.
Смотреть решение →Задание № 978
Нужно доказать: отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен половине разности оснований.
Смотреть решение →Задание № 979
Нужно доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.
Смотреть решение →Задание № 980
Нужно доказать теорему о средней линии треугольника с помощью векторов.
Смотреть решение →Задание № 981
Боковые стороны трапеции равны 13 см и 15 см, а периметр — 48 см. Нужно найти среднюю линию.
Смотреть решение →Задание № 982
Сторона AB треугольника разделена на четыре равные части. Через точки деления проведены прямые, параллельные BC. Три отсекаемых отрезка имеют длины, пропорциональные расстояниям от A; наименьший равен 3,4 см. Нужно найти два других.
Смотреть решение →Задание № 983
Концы диаметра окружности удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см. Нужно найти диаметр.
Смотреть решение →Задание № 984
Из концов диаметра CD длиной 27 см проведены перпендикуляры CC₁ и DD₁ к касательной. Известно CC₁=11 см. Нужно найти DD₁.
Смотреть решение →Задание № 985
Нужно доказать, что средняя линия трапеции проходит через середины её диагоналей.
Смотреть решение →Задание № 986
В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 48 см. Диагональ делит среднюю линию на отрезки 11 см и 35 см. Найти углы трапеции.
Смотреть решение →Задание № 987
В равнобедренной трапеции из вершины B опущен перпендикуляр на большее основание AD. Он делит AD на два отрезка, больший из которых равен 7 см. Найти среднюю линию.
Смотреть решение →Задание № 988
Доказать формулы для длины суммы двух коллинеарных векторов: при сонаправленных векторах длины складываются, а при противоположно направленных и |m|≥|n| — вычитаются.
Смотреть решение →Задание № 989
Доказать для любых векторов x и y двойное неравенство |x|−|y| ≤ |x+y| ≤ |x|+|y|.
Смотреть решение →Задание № 990
На стороне BC треугольника ABC точка N выбрана так, что BN=2NC. Выразить AN через a=BA и b=BC.
Смотреть решение →Задание № 991
На сторонах MN и NP треугольника MNP взяты точки X и Y так, что MX:XN=3:2 и NY:YP=3:2. Выразить XY и MP через a=NM и b=NP.
Смотреть решение →Задание № 992
В трапеции ABCD основание AD в 3 раза больше BC. На AD выбрана точка K так, что AK=(1/3)AD. Выразить CK, KD и BC через a=BA и b=CD.
Смотреть решение →Задание № 993
Точки A, B, C расположены так, что вектор BC=(1/2)AB. Доказать для любой точки O: OB=(1/3)OA+(2/3)OC.
Смотреть решение →Задание № 994
Точка C делит отрезок AB в отношении m:n, считая от A. Доказать формулу OC = n/(m+n)·OA + m/(m+n)·OB.
Смотреть решение →Задание № 995
A и C — середины двух противоположных сторон произвольного четырёхугольника, B и D — середины двух остальных. Доказать, что для любой точки O сумма векторов OA+OC равна OB+OD.
Смотреть решение →Задание № 996
В прямоугольной трапеции один из углов равен 120°. Меньшая диагональ и большая боковая сторона равны a. Найти среднюю линию.
Смотреть решение →Задание № 997
Доказать, что точка пересечения биссектрис двух углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию.
Смотреть решение →Задание № 998
Найти число k из равенства n = k·m в четырёх случаях, учитывая направления и длины векторов.
Смотреть решение →Задание № 999
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в O, а M — середина AO. Для девяти векторных равенств найти k, если это возможно.
Смотреть решение →Задание № 1000
Векторы a и b коллинеарны. Определить, коллинеарны ли с a векторы a+3b и b−2a.
Смотреть решение →Задание № 1001
Доказать, что из неколлинеарности a и b следует неколлинеарность трёх указанных пар линейных комбинаций этих векторов.
Смотреть решение →Задание № 1002
В параллелограмме ABCD точка M лежит на диагонали AC и AM:MC=4:1. Разложить AM по a=AB и b=AD.
Смотреть решение →Задание № 1003
Векторы a и b неколлинеарны. Найти x и y в четырёх векторных равенствах.
Смотреть решение →Задание № 1004
Построить из начала координат векторы a{3;0}, b{2;−1}, c{0;−3}, d{1;1}, e{2;√2}.
Смотреть решение →Задание № 1005
По рисунку 309 разложить векторы a, b, c, d, e, f по координатным векторам i и j и найти их координаты.
Смотреть решение →Задание № 1006
Выписать координаты векторов a=2i+3j, b=−1/2 i+2j, c=8i, d=i−j, e=−2j, f=−i.
Смотреть решение →Задание № 1007
По заданным координатам записать разложения векторов x{−3;1/5}, y{−2;−3}, z{−1;0}, u{0;3}, v{0;1} по i и j.
Смотреть решение →Задание № 1008
Найти x и y из четырёх равенств, записанных через координатные векторы i и j.
Смотреть решение →Задание № 1009
Найти координаты a+b для четырёх пар заданных векторов.
Смотреть решение →Задание № 1010
Найти координаты a−b для четырёх пар заданных векторов.
Смотреть решение →Задание № 1011
Для a{3;2} найти координаты векторов 2a, 3a, −a и −3a.
Смотреть решение →Задание № 1012
Для a{2;4}, b{−2;0}, c{0;0}, d{−2;−3}, e{2;−3}, f{0;5} найти координаты противоположных векторов.
Смотреть решение →Задание № 1013
Найти координаты v в четырёх выражениях через заданные векторы a, b, c.
Смотреть решение →Задание № 1014
Доказать: у коллинеарных векторов координаты пропорциональны; сформулировать и доказать обратное утверждение.
Смотреть решение →Задание № 1015
Среди a{3;7}, b{−2;1}, c{6;14}, d{2;−1}, e{2;4} указать попарно коллинеарные векторы.
Смотреть решение →Задание № 1016
A лежит на положительной полуоси Ox, B — на положительной полуоси Oy. Найти координаты вершин: а) треугольника ABO при OA=5, OB=3; б) прямоугольника OACB при OA=a, OB=b.
Смотреть решение →Задание № 1017
Корабль идёт от A на 100 км восточнее, затем на 75 км севернее. Изобразить результирующий вектор a и найти его координаты.
Смотреть решение →Задание № 1018
Квадрат MNPQ имеет вершину P(−3;3), а его диагонали пересекаются в начале координат. Найти координаты M, N и Q.
Смотреть решение →Задание № 1019
В равнобедренном треугольнике ABC основание AB=2a, высота CO=h, а O — начало координат и середина AB. Найти координаты вершин.
Смотреть решение →Задание № 1020
Даны A(0;0), B(5;0), C(12;−3). Найти координаты D параллелограмма ABCD.
Смотреть решение →Задание № 1021
Найти координаты вектора AB для четырёх пар точек: A(2;7), B(−2;7); A(−5;1), B(−5;27); A(−3;0), B(0;4); A(0;3), B(−4;0).
Смотреть решение →Задание № 1022
Заполнить таблицу для точек A, B и вектора AB; во второй строке найти неизвестные x и y.
Смотреть решение →Задание № 1023
Заполнить таблицу для концов отрезка A, B и его середины M, находя недостающие координаты.
Смотреть решение →Задание № 1024
Даны A(0;1), B(5;−3); B — середина AC, а D — середина BC. Найти C и D.
Смотреть решение →Задание № 1025
Найти длины векторов {5;9}, {−3;4}, {−10;−10}, {10;17}, {11;−11}, {10;0}.
Смотреть решение →Задание № 1026
Для точки M(3;−2) найти расстояния до оси Ox, оси Oy и начала координат.
Смотреть решение →Задание № 1027
Найти расстояния между четырьмя парами точек: (2;7) и (−2;7); (−5;1) и (−5;−7); (−3;0) и (0;4); (0;3) и (−4;0).
Смотреть решение →Задание № 1028
Найти периметр треугольника MNP, если M(4;0), N(12;−2), P(5;−9).
Смотреть решение →Задание № 1029
В треугольнике ABC даны A(0;1), B(1;−4), C(5;2). Найти длину медианы AM.
Смотреть решение →Задание № 1030
Точки B и C лежат на положительных полуосях Ox и Oy, A — на отрицательной полуоси Ox; OA=a, OB=b, OC=h. Найти AC и BC.
Смотреть решение →Задание № 1031
В трапеции OBCA основания OA=a и BC=d, A лежит на положительной полуоси Ox, B(b;c). Найти AC и диагональ OC.
Смотреть решение →Задание № 1032
Найти x: а) расстояние между A(2;3) и B(x;1) равно 2; б) расстояние между M₁(−1;x) и M₂(2x;3) равно 7.
Смотреть решение →Задание № 1033
Для двух наборов координат доказать, что треугольник ABC равнобедренный, и найти его площадь: а) A(0;1), B(1;−4), C(5;2); б) A(−4;1), B(−2;4), C(0;1).
Смотреть решение →Задание № 1034
Для двух четырёхугольников MNPQ по координатам доказать, что это параллелограммы, и найти длины диагоналей.
Смотреть решение →Задание № 1035
По координатам вершин доказать, что ABCD — прямоугольник, и найти его площадь: а) A(−3;−1), B(1;−1), C(1;−3), D(−3;−3); б) A(4;1), B(3;5), C(−1;4), D(0;0).
Смотреть решение →Задание № 1036
По координатной карте с масштабом 1:10000 найти длину маршрута курьера через столовую, магазин и кафе с возвращением в исходную точку; исходная точка — середина отрезка между кафе и столовой.
Смотреть решение →Задание № 1037
По координатной карте с масштабом 1:10000 выбрать короткий маршрут от склада через магазин, кафе, кондитерскую и столовую с возвращением на склад; склад — середина отрезка между магазином и кондитерской.
Смотреть решение →Задание № 1038
Докажите координатным методом, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника одинаково удалена от всех трёх вершин.
Смотреть решение →Задание № 1039
Докажите, что сумма квадратов четырёх сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.
Смотреть решение →Задание № 1040
В равнобедренном треугольнике основание равно 80 см, а медиана к основанию — 160 см. Найдите две другие медианы.
Смотреть решение →Задание № 1041
Высота треугольника равна 10 см и делит основание на отрезки 10 см и 4 см. Найдите медиану к меньшей из двух боковых сторон.
Смотреть решение →Задание № 1042
Докажите, что диагонали равнобедренной трапеции равны, и докажите обратное утверждение.
Смотреть решение →Задание № 1043
Докажите: если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Смотреть решение →Задание № 1044
Для прямоугольника ABCD и произвольной точки M докажите равенство AM²+CM²=BM²+DM².
Смотреть решение →Задание № 1045
Для пяти заданных уравнений окружностей определите центр и радиус, чтобы выполнить построение.
Смотреть решение →Задание № 1046
Для точек A(3;−4), B(1;0), C(0;5), D(0;0), E(0;1) определите, какие лежат на окружностях: а) x²+y²=25; б) (x−1)²+(y+3)²=9; в) (x−1/2)²+y²=1/4.
Смотреть решение →Задание № 1047
Для окружности (x+5)²+(y−1)²=16 классифицируйте точки A(−2;4), B(−5;−3), C(−7;−2), D(1;5): внутри круга, на окружности или вне круга.
Смотреть решение →Задание № 1048
Дана окружность x²+y²=25 и точки A(3;4), B(4;−3). Докажите, что отрезок AB является хордой.
Смотреть решение →Задание № 1049
На окружности x²+y²=25 найдите точки: а) с абсциссой −4; б) с ординатой 3.
Смотреть решение →Задание № 1050
На окружности (x−3)²+(y−5)²=25 найдите точки: а) с абсциссой 3; б) с ординатой 5.
Смотреть решение →Задание № 1051
Запишите уравнения окружностей с центром в начале координат и радиусами 3, √2 и 5/2.
Смотреть решение →Задание № 1052
Составьте уравнение окружности по центру A и радиусу r для четырёх случаев: A(0;5), r=3; A(−1;2), r=2; A(−3;−7), r=1/2; A(4;−3), r=10.
Смотреть решение →Задание № 1053
Составьте уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через B(−1;3).
Смотреть решение →Задание № 1054
Составьте уравнение окружности с центром A(0;6), проходящей через B(−3;2).
Смотреть решение →Задание № 1055
Составьте уравнение окружности с диаметром MN: а) M(−3;5), N(7;−3); б) M(2;−1), N(4;3).
Смотреть решение →Задание № 1056
Окружность радиуса 5 проходит через A(1;3), а её центр лежит на оси Ox. Найдите уравнение окружности и количество решений.
Смотреть решение →Задание № 1057
Окружность проходит через A(−3;0) и B(0;9), а её центр лежит на оси Oy. Составьте уравнение окружности.
Смотреть решение →Задание № 1058
Составьте уравнения прямых через пары точек: A(1;−1), B(−3;2); C(2;5), D(5;2); M(0;1), N(−4;−5).
Смотреть решение →Задание № 1059
В треугольнике A(4;6), B(−4;0), C(−1;−4) составьте уравнение прямой, содержащей медиану CM.
Смотреть решение →Задание № 1060
Для трапеции A(−2;−2), B(−3;1), C(7;7), D(3;1) составьте уравнения прямых, содержащих диагонали AC, BD и среднюю линию.
Смотреть решение →Задание № 1061
Составьте уравнения прямых через M(2;5), параллельных координатным осям.
Смотреть решение →Задание № 1062
Постройте прямые: а) y=3; б) x=−2; в) y=−4; г) x=7.
Смотреть решение →Задание № 1063
Точка M лежит на прямой AB, где A(−8;−6), B(−3;−1), а её абсцисса равна 5. Найдите ординату M.
Смотреть решение →Задание № 1064
Диагонали ромба длиной 10 см и 4 см лежат на координатных осях. Составьте уравнения прямых, содержащих его стороны.
Смотреть решение →Задание № 1065
Определите взаимное расположение прямой y=x−2 и окружности x²+(y−2)²=9.
Смотреть решение →Задание № 1066
Найдите число общих точек прямой y=x+5 и окружности x²+(y−2)²=9.
Смотреть решение →Задание № 1067
Установите взаимное расположение окружностей: а) x²+y²=9 и x²+y²=4; б) (x−1)²+y²=1 и x²+y²=4.
Смотреть решение →Задание № 1068
Найдите число точек пересечения окружностей: а) (x+2)²+y²=1 и x²+y²=4; б) (x+3)²+y²=1 и x²+y²=4.
Смотреть решение →Задание № 1069
Для двух данных точек A и B найдите множество точек M, для которых AM в 2 раза больше BM.
Смотреть решение →Задание № 1070
B — середина AC, AC=2. Найдите множество точек M: а) AM²+BM²+CM²=50; б) AM²+2BM²+3CM²=4.
Смотреть решение →Задание № 1071
Для данных точек A и B найдите множество точек M, для которых AM²+BM²=k².
Смотреть решение →Задание № 1072
Для данных точек A и B найдите множество точек M, для которых AM²−BM²=k².
Смотреть решение →Задание № 1073
Для данных точек A и B найдите множество точек M, удовлетворяющих BM²−AM²=2AB².
Смотреть решение →Задание № 1074
Для прямоугольника ABCD найдите множество точек M, для которых (AM²+DM²)−(BM²+CM²)=2AB².
Смотреть решение →Задание № 1075
В ромбе ABCD диагонали равны 2a и 2b. Найдите множество точек M, для которых AM²+DM²=BM²+CM².
Смотреть решение →Задание № 1076
Даны неколлинеарные векторы a и b. В четырёх случаях найдите x, если это возможно, чтобы векторы p и q были коллинеарны: а) p=2a−b, q=a+xb; б) p=xa−b, q=a+xb; в) p=a+xb, q=a−2b; г) p=2a+b, q=xa+b.
Смотреть решение →Задание № 1077
Найдите координаты вектора p и его длину: а) p=7a−3b, a=(1;−1), b=(5;−2); б) p=4a−2b, a=(6;3), b=(5;4); в) p=5a−4b, a=(3/5;1/5), b=(6;−1); г) p=3(−2a−4b), a=(1;5), b=(−1;−1).
Смотреть решение →Задание № 1078
Точки M₁(x₁;0) и M₂(x₂;0) лежат на оси Ox. Докажите, что расстояние между ними равно |x₁−x₂|.
Смотреть решение →Задание № 1079
Докажите, что треугольник A(4;8), B(12;11), C(7;0) равнобедренный, но не равносторонний.
Смотреть решение →Задание № 1080
Докажите, что в треугольнике A(−5;6), B(3;−9), C(−12;−17) углы A и C равны.
Смотреть решение →Задание № 1081
Докажите, что точка D равноудалена от A, B и C: а) D(1;1), A(5;4), B(4;−3), C(−2;5); б) D(1;0), A(7;−8), B(−5;8), C(9;6).
Смотреть решение →Задание № 1082
На оси Ox найдите точку, равноудалённую от M₁(−2;4) и M₂(6;8).
Смотреть решение →Задание № 1083
Дан треугольник A(−5;13), B(3;5), C(−3;−1). Найдите: а) середины его сторон; б) медиану, проведённую к стороне AC; в) средние линии треугольника.
Смотреть решение →Задание № 1084
Докажите, что четырёхугольник A(3;2), B(0;5), C(−3;2), D(0;−1) является квадратом.
Смотреть решение →Задание № 1085
Докажите, что четырёхугольник A(−2;−3), B(1;4), C(8;7), D(5;0) — ромб, и найдите его площадь.
Смотреть решение →Задание № 1086
Даны три вершины параллелограмма: (−4;4), (−5;1), (−1;5). Найдите возможные координаты четвёртой вершины. Сколько решений имеет задача?
Смотреть решение →Задание № 1087
Определите, какие из уравнений задают окружности, и для них найдите центр и радиус: а) (x−1)²+(y+2)²=25; б) x²+(y+7)²=1; в) x²+y²+8x−4y+40=0; г) x²+y²−2x+4y−20=0; д) x²+y²−4x−2y+1=0.
Смотреть решение →Задание № 1088
Составьте уравнение окружности, проходящей через точки A(3;0) и B(−1;2), если её центр лежит на прямой y=x+2.
Смотреть решение →Задание № 1089
Составьте уравнение окружности, проходящей через три точки: а) A(1;−4), B(4;5), C(3;−2); б) A(3;−7), B(8;−2), C(6;2).
Смотреть решение →Задание № 1090
Для треугольника A(−7;5), B(3;−1), C(5;3) составьте уравнения: а) серединных перпендикуляров к сторонам; б) прямых, содержащих стороны; в) прямых, содержащих средние линии.
Смотреть решение →Задание № 1091
Докажите, что прямые 3x−1,5y+1=0 и 2x−y−3=0 параллельны.
Смотреть решение →Задание № 1092
Докажите, что в каждом случае точки лежат на одной прямой: а) A(−2;0), B(3;2,5), C(6;4); б) A(3;10), B(3;12), C(3;−6); в) A(1;2), B(2;5), C(−10;−31).
Смотреть решение →Задание № 1093
Две стороны треугольника равны 17 и 28, а высота, проведённая к большей стороне, равна 15. Найдите длины медиан треугольника.
Смотреть решение →Задание № 1094
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности её оснований.
Смотреть решение →Задание № 1095
В параллелограмме ABCD докажите, что выражение (AM²+CM²)−(BM²+DM²) имеет одно и то же значение при любом положении точки M.
Смотреть решение →Задание № 1096
Доказать формулу длины медианы через стороны треугольника и вывести, что равенство двух медиан влечёт равнобедренность треугольника.
Смотреть решение →Задание № 1097
Для двух заданных точек A и B найти геометрическое место точек M при двух квадратных соотношениях между AM, BM и AB.
Смотреть решение →Задание № 1098
Определить, какие предложенные значения могут быть абсциссами и ординатами точек единичной верхней полуокружности.
Смотреть решение →Задание № 1099
Проверить несколько стандартных точек единичной полуокружности и выписать sin, cos и tg соответствующих углов.
Смотреть решение →Задание № 1100
Найти sin α по известному cos α в трёх случаях.
Смотреть решение →Задание № 1101
Найти cos α по известному sin α в трёх случаях.
Смотреть решение →Задание № 1102
Найти tg α по данным о синусе или косинусе и положении угла.
Смотреть решение →Задание № 1103
Вычислить синусы, косинусы и тангенсы углов 120°, 135° и 150°.
Смотреть решение →Задание № 1104
Построить угол по заданному значению синуса или косинуса.
Смотреть решение →Задание № 1105
Найти координаты точки по длине OA и углу луча OA с положительной полуосью Ox.
Смотреть решение →Задание № 1106
Найти угол луча OA с положительной полуосью Ox по координатам точки A.
Смотреть решение →Задание № 1107
Найти угол наклона прямой к положительному направлению Ox по её угловому коэффициенту.
Смотреть решение →Задание № 1108
Луч из M(8;3) падает на Ox под 45°, отражается; найти уравнения прямых падающего и отражённого лучей и точку встречи с вертикальным экраном x=−10.
Смотреть решение →Задание № 1109
Найти площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними в трёх случаях.
Смотреть решение →Задание № 1110
Доказать формулу площади параллелограмма через две соседние стороны и синус угла между ними.
Смотреть решение →Задание № 1111
По площади 60 см², стороне AC=15 см и углу A=30° найти AB.
Смотреть решение →Задание № 1112
Найти площадь прямоугольника по диагонали 10 см и углу 30° между диагоналями.
Смотреть решение →Задание № 1113
Вывести формулы площади треугольника через угол и высоты в двух символических случаях.
Смотреть решение →Задание № 1114
Решить треугольник ABC по девяти наборам данных с помощью теорем синусов и косинусов.
Смотреть решение →Задание № 1115
В треугольнике AC=12 см, A=75°, C=60°; найти AB и площадь.
Смотреть решение →Задание № 1116
По двум углам и высоте 3 м найти все стороны треугольника.
Смотреть решение →Задание № 1117
По стороне, диагонали и углу параллелограмма найти два угла.
Смотреть решение →Задание № 1118
Выразить три биссектрисы через сторону a и прилежащие углы α, β.
Смотреть решение →Задание № 1119
Найти диагонали параллелограмма и угол между ними через a, b и α.
Смотреть решение →Задание № 1120
Определить вид трёх треугольников по заданным сторонам.
Смотреть решение →Задание № 1121
По углу между двумя равными силами и равнодействующей найти каждую силу.
Смотреть решение →Задание № 1122
Доказать расширенную теорему синусов через описанную окружность.
Смотреть решение →Задание № 1123
Найти периметр равнобедренной трапеции с основанием 10 см и углом 70°.
Смотреть решение →Задание № 1124
Найти острый угол между пересекающимися хордами; возможны два ответа.
Смотреть решение →Задание № 1125
По расстоянию 50 м и углам визирования 45° и 2° найти высоту башни.
Смотреть решение →Задание № 1126
По базису 70 м и двум измеренным углам найти ширину реки.
Смотреть решение →Задание № 1127
По углам наблюдения 60° и 30° и башне 100 м найти высоту горы.
Смотреть решение →Задание № 1128
Найти восемь углов между векторами в квадрате.
Смотреть решение →Задание № 1129
Найти углы между векторами в ромбе, если диагональ равна стороне.
Смотреть решение →Задание № 1130
Вычислить скалярное произведение при углах 45°, 90° и 135°.
Смотреть решение →Задание № 1131
Вычислить четыре скалярных произведения в равностороннем треугольнике.
Смотреть решение →Задание № 1132
Найти равнодействующую сил 8 и 15 при угле 120°.
Смотреть решение →Задание № 1133
Вычислить три скалярных произведения по координатам.
Смотреть решение →Задание № 1134
Доказать перпендикулярность векторов {x;y} и {−y;x}.
Смотреть решение →Задание № 1135
Доказать перпендикулярность векторов i+j и i−j.
Смотреть решение →Задание № 1136
Найти x из условия перпендикулярности трёх пар векторов.
Смотреть решение →Задание № 1137
Найти косинусы углов треугольника по координатам его вершин.
Смотреть решение →Задание № 1138
Найти углы треугольника по координатам трёх точек.
Смотреть решение →Задание № 1139
Найти длины суммы и разности двух векторов.
Смотреть решение →Задание № 1140
Вычислить скалярное произведение суммы векторов.
Смотреть решение →Задание № 1141
Найти скалярное произведение составных векторов.
Смотреть решение →Задание № 1142
Вычислить произведение линейных комбинаций перпендикулярных векторов.
Смотреть решение →Задание № 1143
Доказать формулу медианы через скалярное произведение.
Смотреть решение →Задание № 1144
Найти угол равнобедренного треугольника по перпендикулярным медианам.
Смотреть решение →Задание № 1145
Векторно доказать перпендикулярность диагоналей ромба.
Смотреть решение →Задание № 1146
Найти высоты и стороны равнобедренного треугольника при угле 30°.
Смотреть решение →Задание № 1147
Найти площадь треугольника по стороне и двум углам.
Смотреть решение →Задание № 1148
Доказать формулу площади четырёхугольника через диагонали.
Смотреть решение →Задание № 1149
Решить четыре треугольника по теореме синусов.
Смотреть решение →Задание № 1150
Решить три треугольника по теореме косинусов.
Смотреть решение →Задание № 1151
Найти углы треугольника по трём сторонам.
Смотреть решение →Задание № 1152
Вывести формулу длины биссектрисы треугольника.
Смотреть решение →Задание № 1153
Выразить недоступное расстояние по двум сторонам и углу.
Смотреть решение →Задание № 1154
Доказать, что координатный треугольник тупоугольный.
Смотреть решение →Задание № 1155
Найти длину вектора 3i−4j.
Смотреть решение →Задание № 1156
Найти диагонали параллелограмма, заданного векторами.
Смотреть решение →Задание № 1157
Найти параметр из условия перпендикулярности векторов.
Смотреть решение →Задание № 1158
Найти угол между медианами прямоугольного равнобедренного треугольника.
Смотреть решение →Задание № 1159
Найти площадь трапеции и секущую, делящую её пополам.
Смотреть решение →Задание № 1160
Найти радиус описанной окружности по площади и двум сторонам.
Смотреть решение →Задание № 1161
Выразить площадь ромба через отрезок биссектрисы и угол.
Смотреть решение →Задание № 1162
Доказать формулу длины чевианы через векторы.
Смотреть решение →Задание № 1163
Доказать, что четырёхугольник — трапеция, и найти площадь.
Смотреть решение →Задание № 1164
Доказать формулы биссектрисы и медианы через стороны и угол.
Смотреть решение →Задание № 1165
Доказать признак ромба по перпендикулярным диагоналям.
Смотреть решение →Задание № 1166
Доказать масштабирование радиусов окружностей при подобии.
Смотреть решение →Задание № 1167
Проверить утверждения о правильных и выпуклых многоугольниках.
Смотреть решение →Задание № 1168
Определить, какие утверждения о правильных многоугольниках верны.
Смотреть решение →Задание № 1169
Доказать, что правильный четырёхугольник — квадрат.
Смотреть решение →Задание № 1170
Найти углы правильных многоугольников для пяти значений n.
Смотреть решение →Задание № 1171
Найти сумму внешних углов правильного многоугольника.
Смотреть решение →Задание № 1172
Определить число сторон правильного многоугольника по углу.
Смотреть решение →Задание № 1173
Найти число сторон по дуге одной стороны вписанного многоугольника.
Смотреть решение →Задание № 1174
Доказать свойство серединных перпендикуляров правильного многоугольника.
Смотреть решение →Задание № 1175
Доказать свойство биссектрис правильного многоугольника.
Смотреть решение →Задание № 1176
Заполнить таблицу для квадрата, вписанного в окружность.
Смотреть решение →Задание № 1177
Заполнить таблицу для правильного треугольника.
Смотреть решение →Задание № 1178
Найти сторону вписанного квадрата по периметру вписанного треугольника.
Смотреть решение →Задание № 1179
Найти минимальный диаметр стержня для треугольного сечения.
Смотреть решение →Задание № 1180
Найти максимальный диаметр круглого стержня в квадратном бруске.
Смотреть решение →Задание № 1181
Найти периметр описанного квадрата по периметру описанного шестиугольника.
Смотреть решение →Задание № 1182
Доказать связь R=2r для правильного треугольника.
Смотреть решение →Задание № 1183
Найти площади четырёх правильных многоугольников.
Смотреть решение →Задание № 1184
Найти площадь правильной шестигранной головки болта.
Смотреть решение →Задание № 1185
Сравнить площади треугольника, квадрата и шестиугольника с равными сторонами.
Смотреть решение →Задание № 1186
Найти отношение площадей вписанного и описанного шестиугольников.
Смотреть решение →Задание № 1187
Выразить элементы правильного треугольника через r и R.
Смотреть решение →Задание № 1188
Доказать прямоугольник в правильном восьмиугольнике и найти его площадь.
Смотреть решение →Задание № 1189
Построить четыре правильных многоугольника в окружности.
Смотреть решение →Задание № 1190
Заполнить таблицу C и R по формуле длины окружности.
Смотреть решение →Задание № 1191
Определить, как меняется длина окружности при изменении радиуса.
Смотреть решение →Задание № 1192
Определить изменение радиуса по изменению длины окружности.
Смотреть решение →Задание № 1193
Найти длины описанных окружностей для пяти фигур.
Смотреть решение →Задание № 1194
Найти длины вписанных окружностей для четырёх фигур.
Смотреть решение →Задание № 1195
Найти диаметр колеса по пути и числу оборотов.
Смотреть решение →Задание № 1196
Найти диаметр Земли по приближённой длине экватора.
Смотреть решение →Задание № 1197
Найти длину круговой орбиты спутника.
Смотреть решение →Задание № 1198
Найти длины четырёх дуг окружности радиуса 6 см.
Смотреть решение →Задание № 1199
Найти число зубьев зубчатого колеса.
Смотреть решение →Задание № 1200
Найти длину открытой дуги шлифовального круга.
Смотреть решение →Задание № 1201
Найти длину маятника по длине дуги и углу колебания.
Смотреть решение →Задание № 1202
Найти градусную меру дуги железнодорожного закругления.
Смотреть решение →Задание № 1203
Заполнить таблицы перевода градусов в радианы и обратно.
Смотреть решение →Задание № 1204
Построить шесть углов, заданных в радианах.
Смотреть решение →Задание № 1205
Заполнить таблицу радиусов и площадей кругов.
Смотреть решение →Задание № 1206
Определить изменение площади круга при изменении радиуса в k раз.
Смотреть решение →Задание № 1207
Вывести площади описанных кругов для трёх фигур.
Смотреть решение →Задание № 1208
Вывести площади вписанных кругов для четырёх фигур.
Смотреть решение →Задание № 1209
Найти площадь основания Царь-колокола.
Смотреть решение →Задание № 1210
Найти диаметр и площадь цирковой арены по длине окружности.
Смотреть решение →Задание № 1211
Найти площадь кольца между двумя концентрическими окружностями.
Смотреть решение →Задание № 1212
Найти толщину слоя, снимаемого с круглой проволоки.
Смотреть решение →Задание № 1213
Найти объём песка для кольцевой дорожки вокруг клумбы.
Смотреть решение →Задание № 1214
Найти площадь круга после вырезания вписанного квадрата.
Смотреть решение →Задание № 1215
Найти площади зон мишени из четырёх концентрических окружностей.
Смотреть решение →Задание № 1216
Доказать равенство площадей трёх полукругов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника.
Смотреть решение →Задание № 1217
Найти площадь круга после удаления сектора 60°.
Смотреть решение →Задание № 1218
Выразить радиус сектора через его площадь при угле 72°.
Смотреть решение →Задание № 1219
Найти площадь центральной фигуры в квадрате после вычитания четырёх четверть-кругов.
Смотреть решение →Задание № 1220
Доказать формулу площади сектора через радианную меру дуги.
Смотреть решение →Задание № 1221
Определить число сторон правильного многоугольника по внешнему углу.
Смотреть решение →Задание № 1222
Найти радиус окружности, описанной около квадрата на стороне вписанного равностороннего треугольника.
Смотреть решение →Задание № 1223
Найти периметр правильного шестиугольника по большой диагонали.
Смотреть решение →Задание № 1224
Сравнить периметры правильного треугольника и квадрата в двух случаях.
Смотреть решение →Задание № 1225
Доказать свойства диагоналей правильного двенадцатиугольника.
Смотреть решение →Задание № 1226
Доказать три свойства диагоналей правильного десятиугольника.
Смотреть решение →Задание № 1227
Найти сторону и площадь правильного шестиугольника по площади описанного круга.
Смотреть решение →Задание № 1228
Доказать правильность восьмиугольника и выразить его площадь через R.
Смотреть решение →Задание № 1229
Найти высоту круговой орбиты по пути за два оборота.
Смотреть решение →Задание № 1230
Найти длину окружности, вписанной в ромб, в двух случаях.
Смотреть решение →Задание № 1231
Найти длину круговой опушки по разности времени обхода и пересечения по диаметру.
Смотреть решение →Задание № 1232
Доказать равенство двух отношений для правильного многоугольника и вписанной окружности.
Смотреть решение →Задание № 1233
Найти сумму длин больших дуг двух окружностей с общей хордой.
Смотреть решение →Задание № 1234
Найти длину окружности, описанной около равнобедренной трапеции.
Смотреть решение →Задание № 1235
Доказать, что длины вписанных окружностей двух подобных треугольников относятся как коэффициент подобия.
Смотреть решение →Задание № 1236
Построить правильный восьмиугольник по данной стороне.
Смотреть решение →Задание № 1237
Построить круг, площадь которого равна сумме площадей двух данных кругов.
Смотреть решение →Задание № 1238
Описать около данной окружности правильный треугольник и правильный шестиугольник.
Смотреть решение →Задание № 1239
Описать около окружности квадрат и правильный восьмиугольник.
Смотреть решение →Задание № 1240
Доказать два свойства прямых при осевой симметрии.
Смотреть решение →Задание № 1241
Доказать свойства прямых при центральной симметрии.
Смотреть решение →Задание № 1242
Доказать сохранение величины угла при движении.
Смотреть решение →Задание № 1243
Доказать, что движение переводит четырёхугольник в четырёхугольник.
Смотреть решение →Задание № 1244
Доказать сохранение параллельности прямых при движении.
Смотреть решение →Задание № 1245
Доказать сохранение параллелограмма, трапеции, ромба, прямоугольника и квадрата при движении.
Смотреть решение →Задание № 1246
Доказать, что движение переводит окружность в окружность того же радиуса.
Смотреть решение →Задание № 1247
Доказать, что тождественное отображение плоскости является наложением.
Смотреть решение →Задание № 1248
Доказать единственность движения по образам трёх вершин треугольника.
Смотреть решение →Задание № 1249
Доказать существование и единственность движения между равными по трём сторонам треугольниками.
Смотреть решение →Задание № 1250
Доказать равенство параллелограммов по двум смежным сторонам и углу между ними.
Смотреть решение →Задание № 1251
Построить образ прямой при осевой симметрии относительно другой прямой.
Смотреть решение →Задание № 1252
Построить зеркальный образ четырёхугольника относительно данной прямой.
Смотреть решение →Задание № 1253
Проверить три утверждения о симметриях и движениях.
Смотреть решение →Задание № 1254
Доказать существование движения, переводящего одну прямую в другую.
Смотреть решение →Задание № 1255
Доказать, что композиция двух движений снова является движением.
Смотреть решение →Задание № 1256
Фигура F₁ получена из F осевой симметрией, а F₂ — центральной симметрией. Нужно установить, равны ли F₁ и F₂.
Смотреть решение →Задание № 1257
Доказать симметричность и транзитивность отношения равенства фигур, используя движения.
Смотреть решение →Задание № 1258
Построить образ отрезка AB при параллельном переносе на вектор MM₁.
Смотреть решение →Задание № 1259
Для треугольника ABC постройте его образы при двух заданных параллельных переносах: на вектор MM₁ и на вектор a, параллельный AC.
Смотреть решение →Задание № 1260
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC точка D лежит на прямой AC так, что C находится между A и D. Построить образ BC при переносе на CD и докажите, что полученная фигура ABB₁D — равнобедренная трапеция.
Смотреть решение →Задание № 1261
Построить образы заданных треугольника, трапеции и окружности при параллельном переносе на вектор a.
Смотреть решение →Задание № 1262
Даны a ∥ a₁ и b ∥ b₁, причём a не параллельна b. Построить вектор параллельного переноса, переводящего a в a₁ и b в b₁.
Смотреть решение →Задание № 1263
Построить образ отрезка AB при повороте вокруг точки O: а) на 120° по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки; в) на 180°.
Смотреть решение →Задание № 1264
Поверните треугольник ABC вокруг вершины A на 150° против часовой стрелки.
Смотреть решение →Задание № 1265
В равностороннем треугольнике ABC точка D — точка пересечения биссектрис. Доказать, что поворот на 120° вокруг D переводит треугольник в себя.
Смотреть решение →Задание № 1266
Доказать, что квадрат при повороте на 90° вокруг точки пересечения диагоналей переходит в себя.
Смотреть решение →Задание № 1267
Построить образ окружности с центром C при повороте на 60° против часовой стрелки вокруг O для случаев O ≠ C и O = C.
Смотреть решение →Задание № 1268
Построить образ прямой a при повороте на 60° по часовой стрелке вокруг O: а) если a не проходит через O; б) если a проходит через O.
Смотреть решение →Задание № 1269
Прямая a поворотом на угол α переходит в a₁. Доказать, что угол между a и a₁ равен α или дополняет его до 180°.
Смотреть решение →Задание № 1270
Даны два равных отрезка: а) параллельные; б) непараллельные. Построить центр поворота, переводящего один отрезок в другой.
Смотреть решение →Задание № 1271
Найти симметрии: а) параллелограмма; б) прямоугольника; в) ромба; г) равнобедренной трапеции.
Смотреть решение →Задание № 1272
Сколько осей симметрии имеет правильный n-угольник?
Смотреть решение →Задание № 1273
Описать симметрии правильного пятиугольника, правильного шестиугольника и в общем случае правильного n-угольника.
Смотреть решение →Задание № 1274
Привести пример многоугольника, у которого нет нетривиальных симметрий.
Смотреть решение →Задание № 1275
Доказать, что четырёхугольник, имеющий центр симметрии, является параллелограммом.
Смотреть решение →Задание № 1276
Приведите примеры фигур, имеющих бесконечно много центров симметрии.
Смотреть решение →Задание № 1277
Может ли многоугольник иметь ровно два центра симметрии? Обоснуйте ответ.
Смотреть решение →Задание № 1278
Может ли многоугольник иметь две параллельные оси симметрии? Ответ обоснуйте.
Смотреть решение →Задание № 1279
Постройте фигуры с переносной симметрией из равных: а) прямоугольных треугольников; б) ромбов; в) равнобедренных трапеций.
Смотреть решение →Задание № 1280
Постройте фигуры с поворотной симметрией из равных: а) равносторонних треугольников; б) ромбов.
Смотреть решение →Задание № 1281
Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что их отрезки внутри квадрата равны.
Смотреть решение →Задание № 1282
На одной прямой точки A, B, C расположены так, что B лежит между A и C. По одну сторону построены равносторонние треугольники ABM и BCN. Докажите AN=MC и найдите угол между AN и MC.
Смотреть решение →Задание № 1283
Решите задачу №1282, если A, B, C — вершины треугольника, а равносторонние треугольники ABM и BCN построены внешним образом на сторонах AB и BC.
Смотреть решение →Задание № 1284
Постройте квадрат, если даны его центр O и прямая l, на которой лежит одна из сторон.
Смотреть решение →Задание № 1285
Постройте квадрат, если даны его центр O и две точки P и Q, лежащие на прямых, содержащих две параллельные стороны квадрата.
Смотреть решение →Задание № 1286
Найдите все симметрии пятиконечной звезды F на рисунке 377.
Смотреть решение →Задание № 1287
Даны два произвольных луча h и h₁. Всегда ли существует движение, переводящее h в h₁?
Смотреть решение →Задание № 1288
Внутри острого угла ABC дана точка D. Найдите на сторонах угла точки E и F так, чтобы периметр треугольника DEF был наименьшим.
Смотреть решение →Задание № 1289
Медианы AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в M. Точки A₂, B₂, C₂ — середины AM, BM, CM. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равны.
Смотреть решение →Задание № 1290
На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD построены квадраты. Докажите с помощью параллельного переноса, что отрезок между центрами квадратов равен и параллелен AD.
Смотреть решение →Задание № 1291
В конфигурации рисунка 379 для прямоугольника ABCD и треугольника ABS проведены CC₁ ⟂ AS и DD₁ ⟂ BS. Используя параллельный перенос, докажите SK ⟂ AB.
Смотреть решение →Задание № 1292
В одну окружность вписаны два равносторонних треугольника ABC и A₁B₁C₁ с одинаковым направлением обхода. Докажите: AA₁, BB₁, CC₁ либо проходят через O, либо образуют равносторонний треугольник.
Смотреть решение →Задание № 1293
Даны две пересекающиеся прямые l и m и точка O вне обеих. С помощью центральной симметрии постройте через O прямую, отрезок между l и m на которой делится точкой O пополам.
Смотреть решение →Задание № 1294
Используя параллельный перенос, постройте трапецию по двум основаниям и двум диагоналям.
Смотреть решение →Задание № 1295
Даны параллельные прямые l и m и точка A вне обеих. Постройте равносторонний треугольник ABC, где B∈l, C∈m. Сколько решений?
Смотреть решение →Задание № 1296
Два равных шестиугольника ABCDEF и GHKLMN. Назвать соответствующие углы и стороны.
Смотреть решение →Задание № 1297
У двух прямоугольников равны по паре соответствующих соседних сторон. Доказать равенство прямоугольников.
Смотреть решение →Задание № 1298
Проверить: а) равенство трёх соответствующих сторон двух треугольников; б) равенство всех соответствующих сторон двух выпуклых многоугольников — гарантирует ли равенство фигур?
Смотреть решение →Задание № 1299
Подобны четырёхугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁. По рисунку найти коэффициент подобия, углы A₁ и C₁, стороны A₁B₁ и CD.
Смотреть решение →Задание № 1300
Два пятиугольника на рисунке подобны. Найти x, y, z, t, α, β.
Смотреть решение →Задание № 1301
По рисунку проверить подобие пар многоугольников F и F₁, P и P₁, R и R₁.
Смотреть решение →Задание № 1302
Проверить, подобны ли два четырёхугольника на рисунке 390.
Смотреть решение →Задание № 1303
Для шести пар фигур определить, могут ли они быть подобными.
Смотреть решение →Задание № 1304
Подобны треугольники ABC и A₁B₁C₁; BC=1,4 м, B₁C₁=56 см. Найти отношение периметров.
Смотреть решение →Задание № 1305
Периметры подобных четырёхугольников MNPQ и M₁N₁P₁Q₁ относятся как 3:5. MN=7 см, а P₁Q₁ на 5 см больше M₁N₁. Найти PQ.
Смотреть решение →Задание № 1306
Для подобных многоугольников F₁ и F₂ по S₁/S₂=k² заполнить таблицу.
Смотреть решение →Задание № 1307
Квадрат F имеет сторону a. F₁ подобен F с коэффициентом k. Доказать, что F₁ — квадрат, и найти его площадь.
Смотреть решение →Задание № 1308
Площади подобных многоугольников 75 м² и 300 м². Сторона второго равна 9 м. Найти сходственную сторону первого.
Смотреть решение →Задание № 1309
Построить образы четырёх точек A,B,C,D при гомотетии с центром O: а) k=2; б) k=−3.
Смотреть решение →Задание № 1310
По заданным O, A₁, B₁, C₁ восстановить точки A,B,C, если они переходят в A₁,B₁,C₁ при гомотетии с заданным k.
Смотреть решение →Задание № 1311
Построить образ прямой l, не проходящей через O, при гомотетии с коэффициентами 2; −0,5; −3; 3.
Смотреть решение →Задание № 1312
Окружность радиуса r с центром C преобразовать гомотетией с центром O при k=−1; 1,5; 3.
Смотреть решение →Задание № 1313
Построить образы четырёх треугольников при гомотетии: k=3; 1/2; −2; −1/2 с указанными центрами.
Смотреть решение →Задание № 1314
Для четырёх фигур рисунка 402 построить их образы при гомотетии с центром A и k=2.
Смотреть решение →Задание № 1315
Доказать, что при гомотетии угол переходит в равный ему угол.
Смотреть решение →Задание № 1316
Докажите, что каждая фигура подобна самой себе.
Смотреть решение →Задание № 1317
Фигура F₁ подобна фигуре F с коэффициентом k. Докажите, что F подобна F₁, и найдите коэффициент обратного подобия.
Смотреть решение →Задание № 1318
Фигура F₂ подобна фигуре F₁, а F₁ подобна фигуре F. Докажите, что F₂ подобна F.
Смотреть решение →Задание № 1319
При гомотетии с коэффициентом −3 треугольник ABC и параллелограмм MNPQ переходят в свои образы. Можно ли утверждать, что исходные фигуры подобны образам? Укажите коэффициент подобия.
Смотреть решение →Задание № 1320
Какими будут образы: а) трапеции; б) двух прямых, пересекающихся под углом 30°, — при преобразовании подобия?
Смотреть решение →Задание № 1321
Дана гомотетия с центром O и известна пара соответствующих точек A → A₁. Постройте образ произвольной точки M.
Смотреть решение →Задание № 1322
Дан параллелограмм ABCD. При гомотетии с центром O точка A переходит в A₁. Постройте образ всего параллелограмма.
Смотреть решение →Задание № 1323
Дана окружность, проходящая через A, и её центр C. При гомотетии с центром O точка A переходит в A₁. Постройте образ окружности.
Смотреть решение →Задание № 1324
Окружность имеет центр C и радиус r. Постройте её образ при гомотетии с центром O и коэффициентом: а) 1/2; б) −1/2; в) 3.
Смотреть решение →Задание № 1325
Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Найдите неизвестный отрезок: а) AE=5, BE=2, CE=2,5; б) AE=16, BE=9, CE=DE; в) AE=0,2, BE=0,5, CE=0,4.
Смотреть решение →Задание № 1326
Диаметр AA₁ перпендикулярен хорде BB₁ и пересекает её в точке C. Известно AC=4 см, CA₁=8 см. Найдите длину хорды BB₁.
Смотреть решение →Задание № 1327
Точка C лежит на окружности с диаметром AB. Высота CH прямоугольного треугольника ABC опущена на AB. Докажите, что CH — среднее геометрическое отрезков AH и HB.
Смотреть решение →Задание № 1328
В треугольнике ABC: AB=6, медиана CM=4. Две окружности проходят через C и касаются AB соответственно в A и B. Найдите длину их общей хорды.
Смотреть решение →Задание № 1329
Из точки A к окружности проведены касательная AB и секущая, пересекающая окружность в C и D. Найдите CD: а) AB=4, AC=2; б) AB=5, AD=10.
Смотреть решение →Задание № 1330
Из внешней точки M проведена секущая MAB к окружности радиуса R с центром O. Докажите формулу MA·MB = MO² − R².
Смотреть решение →Задание № 1331
Точка M находится внутри окружности радиуса R с центром O. Хорда AB проходит через M. Докажите формулу MA·MB = R² − MO².
Смотреть решение →Задание № 1332
Две окружности пересекаются в A и B. Точка K лежит на прямой AB вне окружностей. Через K проведены секущие KCD к первой окружности и KEF ко второй. Докажите, что KC·KD = KE·KF.
Смотреть решение →Задание № 1333
На рисунках, выполненных на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см, найдите указанные длины в трёх случаях.
Смотреть решение →Задание № 1334
Постройте квадрат PQRS, вписанный в данный остроугольный треугольник ABC: P и Q должны лежать на AC, R — на BC, S — на BA.
Смотреть решение →Задание № 1335
Дан прямоугольник P₁Q₁R₁S₁. Постройте в треугольнике ABC подобный ему прямоугольник PQRS так, чтобы P,Q лежали на AC, R — на BC, S — на BA.
Смотреть решение →Задание № 1336
Даны угол с вершиной O, точка A внутри него и треугольник P₁Q₁R₁. Постройте треугольник PQR, подобный данному, так, чтобы P и Q лежали на одном луче угла, R — на другом, а точка A принадлежала стороне QR.
Смотреть решение →Задание № 1337
Даны прямая l и точка O вне неё. Докажите с помощью гомотетии, что множество середин всех отрезков OX, где X пробегает прямую l, является прямой, параллельной l.
Смотреть решение →Задание № 1338
Даны прямая l и точка O вне неё. Для каждой точки X прямой l отмечают точку Y на OX, делящую этот отрезок в отношении OY:YX = 1:3. Найдите множество всех точек Y.
Смотреть решение →Задание № 1339
На окружности фиксирована точка A. На каждой хорде AX отмечают точку Y, для которой AY:YX = 1:3. Какую фигуру образуют все точки Y?
Смотреть решение →Задание № 1340
В треугольнике ABC точка A₁ — середина BC, M делит медиану AA₁ в отношении AM:MA₁ = 2:1, а B₁ — середина AC. Докажите, не используя теорему о пересечении медиан, что гомотетия с центром M и коэффициентом −1/2 переводит AB в A₁B₁.
Смотреть решение →Задание № 1341
Используя результат предыдущей задачи, докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Смотреть решение →Задание № 1342
Движение плоскости оставляет на месте две различные точки A и B. Докажите, что оно оставляет на месте каждую точку прямой AB.
Смотреть решение →Задание № 1343
Движение плоскости оставляет на месте три неколлинеарные точки A, B и C. Докажите, что оно оставляет на месте каждую точку плоскости.
Смотреть решение →Задание № 1344
Докажите признаки равенства прямоугольников: а) по двум соответствующим смежным сторонам; б) по соответствующей стороне и диагонали.
Смотреть решение →Задание № 1345
В двух рисунках даны пары подобных четырёхугольников. По указанным длинам сторон и углам найдите x, y, z, α и β в каждом случае.
Смотреть решение →Задание № 1346
В треугольник ABC вписан параллелограмм AMNP: M лежит на AB, P — на AC, N — на BC. Дано AC=32 см, AB=24 см, а стороны параллелограмма относятся как 4:3. Найдите его стороны.
Смотреть решение →Задание № 1347
На рисунке дан параллелограмм ABCD, точка Q лежит на стороне DC, DQ=8, QC=16, AB=24; прямые образуют треугольники DPQ, APB и CBQ. Найдите отношения площадей S(DPQ):S(APB) и S(DPQ):S(CBQ).
Смотреть решение →Задание № 1348
Постройте треугольник, подобный данному треугольнику ABC, площадь которого в два раза больше площади ABC.
Смотреть решение →Задание № 1349
Дан квадрат площади S. Постройте квадраты площадей: а) S/4; б) S/9; в) 3S.
Смотреть решение →Задание № 1350
На одной прямой отмечены равноотстоящие точки M, N, P, Q, R в указанном на рисунке порядке. Найдите коэффициенты гомотетий с заданными центрами, переводящих: а) N в P (центр M); б) Q в N (центр P); в) M в R (центр N); г) M в Q (центр R).
Смотреть решение →Задание № 1351
Даны два неравных по длине отрезка AB и A₁B₁, лежащие на параллельных прямых. Постройте все центры гомотетий, переводящих один отрезок в другой.
Смотреть решение →Задание № 1352
Даны два равных отрезка AB и A₁B₁ на параллельных прямых. Сколько существует центров гомотетии, переводящей один отрезок в другой? Постройте их.
Смотреть решение →Задание № 1353
При гомотетии точки A, B, C переходят в A₁, B₁, C₁. Если B лежит между A и C, докажите, что B₁ лежит между A₁ и C₁.
Смотреть решение →Задание № 1354
Докажите, что при гомотетии середина отрезка переходит в середину его образа.
Смотреть решение →Задание № 1355
Центр гомотетии O лежит на окружности. Докажите, что исходная окружность и её образ при этой гомотетии имеют общую касательную в точке O.
Смотреть решение →Задание № 1356
В трапеции MNQP основания MN и PQ параллельны, а диагонали MP и NQ пересекаются в точке O. Докажите, что окружности, описанные около треугольников MNO и PQO, имеют общую касательную в точке O.
Смотреть решение →Задание № 1357
Точки M, N и P — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC. Сравните радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и MNP.
Смотреть решение →Задание № 1358
В трапеции ABCD основания AB и CD параллельны. Докажите, что точка пересечения прямых AD и BC лежит на прямой, соединяющей середины оснований.
Смотреть решение →Задание № 1359
На окружности дана точка P и хорда AB. Постройте хорду PX так, чтобы её середина лежала на хорде AB.
Смотреть решение →Задание № 1360
В один и тот же угол вписаны две окружности. Через точки касания с разными сторонами угла проведена прямая MQ, которая пересекает первую окружность ещё в X, а вторую — ещё в Y. Докажите, что соответствующие хорды равны.
Смотреть решение →Задание № 1361
AB — диаметр окружности радиуса r, M — точка окружности. Прямая AM пересекает касательную к окружности в точке B в точке K. Найдите произведение AM · AK.
Смотреть решение →Задание № 1362
В параллелограмме ABCD точки P и Q — середины сторон AD и BC. Прямые AQ и PC пересекают диагональ BD в точках L и K соответственно. Докажите две указанные на рисунке гомотетии между K и L.
Смотреть решение →Задание № 1363
В обозначениях предыдущей задачи (рис. 418) найдите отношение BK : KD.
Смотреть решение →Задание № 1364
В конфигурации рисунка 419 точки P и C симметричны относительно биссектрисы угла A, а точки B и Q — также симметричны. Известно AB = 5, AC = 3; D = PQ ∩ BC. Докажите, что CD/CB = 3/8.
Смотреть решение →Задание № 1365
Точка M движется по окружности с центром O и радиусом r, а S — середина отрезка AM, где A — фиксированная точка. Найдите геометрическое место точек S.
Смотреть решение →Задание № 1366
Докажите, что существует гомотетия, переводящая серединные перпендикуляры сторон треугольника в его высоты.
Смотреть решение →Задание № 1367
Используя предыдущую задачу, докажите, что центр описанной окружности O, точка пересечения медиан G и ортоцентр H треугольника лежат на одной прямой.
Смотреть решение →Задание № 1368
Докажите основные свойства умножения вектора на число: (kl)a = k(la), k(a + b) = ka + kb и (k + l)a = ka + la.
Смотреть решение →Задание № 1369
Для точек M, N, P, Q и произвольного начала O выполнено равенство ON − OM = OP − OQ. Определите вид четырёхугольника MNPQ.
Смотреть решение →Задание № 1370
В четырёхугольнике ABCD точки E, F, G, H выбраны так, что середины отрезков AB, BC, CD, DA совпадают соответственно с серединами OE, OF, OG, OH. Докажите, что EFGH — параллелограмм.
Смотреть решение →Задание № 1371
Пусть a и b — единичные векторы, направленные вдоль сторон угла A. Покажите, как векторы a + b и a − b связаны с биссектрисами внутреннего и внешнего углов.
Смотреть решение →Задание № 1372
Докажите критерий коллинеарности трёх точек A, B, C: они лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют не все нулевые числа k, l, m, для которых k + l + m = 0 и k·OA + l·OB + m·OC = 0.
Смотреть решение →Задание № 1373
В произвольном четырёхугольнике ABCD отмечены середины его сторон, а также середины диагоналей. Докажите указанную связь между отрезками, соединяющими эти точки: три соответствующие линии проходят через одну точку и делятся ею пополам.
Смотреть решение →Задание № 1374
В треугольнике ABC внешние биссектрисы углов пересекают продолжения противоположных сторон в точках A₁, B₁, C₁. Докажите, что A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой.
Смотреть решение →Задание № 1375
Пусть O — центр описанной окружности, G — точка пересечения медиан, H — ортоцентр треугольника ABC. Докажите векторным методом, что точки O, G, H лежат на одной прямой и найдите отношение HG : GO.
Смотреть решение →Задание № 1376
Вершины четырёхугольника ABCD имеют координаты A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃), D(x₄; y₄). Докажите критерий параллелограмма через равенства x₁+x₃=x₂+x₄ и y₁+y₃=y₂+y₄.
Смотреть решение →Задание № 1377
Даны A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂). Точка C делит AB внутренним образом в отношении AC:CB=λ. Выведите координаты C.
Смотреть решение →Задание № 1378
Найдите координаты центра тяжести однородной треугольной пластинки с вершинами (x₁; y₁), (x₂; y₂), (x₃; y₃).
Смотреть решение →Задание № 1379
A(−3; 0), B(0; 4), C(3; 0). Биссектриса угла A пересекает BC в D. Найдите координаты D.
Смотреть решение →Задание № 1380
В треугольнике ABC даны AC=9 см, BC=12 см. Медианы AM и BN взаимно перпендикулярны. Найдите AB.
Смотреть решение →Задание № 1381
Массы m₁, m₂, m₃ сосредоточены в точках A₁(x₁; y₁), A₂(x₂; y₂), A₃(x₃; y₃). Найдите координаты центра тяжести системы.
Смотреть решение →Задание № 1382
На оси Ox найдите точку M, для которой MA+MB минимально: а) A(2;3), B(4;−5); б) A(−2;4), B(3;1).
Смотреть решение →Задание № 1383
Докажите: а) Ax+By+C=0 (A и B не равны нулю одновременно) задаёт прямую; б) x²−xy−2=0 не является уравнением окружности.
Смотреть решение →Задание № 1384
Найдите точки пересечения окружностей (x−1)²+(y−2)²=4 и x²+y²=1 и длину их общей хорды.
Смотреть решение →Задание № 1385
Для фиксированных A, B, C и чисел α, β, γ найдите множество точек M, для которых αAM²+βBM²+γCM² постоянно: а) α+β+γ≠0; б) α+β+γ=0.
Смотреть решение →Задание № 1386
Даны прямая a и точка A вне неё. Для M₁∈a на луче AM₁ выбирают M так, что AM₁·AM=k>0. Найдите геометрическое место точек M.
Смотреть решение →Задание № 1387
Точка O не лежит на данной окружности. Для каждой её точки M₁ на луче OM₁ берут M так, что OM=k·OM₁, k>0. Найдите множество M.
Смотреть решение →Задание № 1388
Для данных A, B и k>0, k≠1: а) докажите, что AM=k·BM задаёт окружность Аполлония; б) докажите её ортогональность любой окружности через A и B.
Смотреть решение →Задание № 1389
В квадрате MNPQ точка A лежит на NP, точка B — на QP; NA=½MN, QB=⅓MN. Докажите, что ∠AMB=45°.
Смотреть решение →Задание № 1390
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в O. Площадь △ODC — среднее пропорциональное площадей △OBC и △OAD. Докажите, что AD∥BC (то есть ABCD — трапеция с этими основаниями или параллелограмм).
Смотреть решение →Задание № 1391
Докажите для произвольного четырёхугольника со сторонами a,b,c,d (последовательно): S≤½(ac+bd).
Смотреть решение →Задание № 1392
Докажите формулу биссектрисы AA₁ в △ABC: AA₁=2bc·cos(A/2)/(b+c), где b=AC, c=AB.
Смотреть решение →Задание № 1393
Выразите диагонали вписанного в окружность четырёхугольника ABCD через его стороны a=AB, b=BC, c=CD, d=DA.
Смотреть решение →Задание № 1394
Докажите формулу Брахмагупты для вписанного четырёхугольника со сторонами a,b,c,d и полупериметром p: S=√((p−a)(p−b)(p−c)(p−d)).
Смотреть решение →Задание № 1395
Докажите: стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая через центры вписанной и описанной окружностей перпендикулярна одной из биссектрис.
Смотреть решение →Задание № 1396
В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание AD=3, наклонная боковая сторона CD=6, E — середина CD, ∠CBE=α. Найдите площадь трапеции.
Смотреть решение →Задание № 1397
В остроугольном △ABC (AB>BC) высоты AM и CN, O — центр описанной окружности, ∠B=β. Площадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите AC.
Смотреть решение →Задание № 1398
В △ABC проведены высота AH=h, медиана AM=l и биссектриса AN; N — середина HM. Найдите расстояние от A до ортоцентра треугольника.
Смотреть решение →Задание № 1399
В правильном десятиугольнике, вписанном в окружность радиуса R, AC — биссектриса угла OAB (рис. 422). Докажите подобие двух треугольников и найдите AB=AC=OC.
Смотреть решение →Задание № 1400
По рисунку 423 докажите, что отрезок AK равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R.
Смотреть решение →Задание № 1401
У правильного пятиугольника A₁A₂A₃A₄A₅ точки A, B, C — середины трёх последовательных сторон. Докажите, что центр O исходной окружности и инцентр O₁ треугольника ABC симметричны относительно AC.
Смотреть решение →Задание № 1402
В данную окружность нужно вписать правильный десятиугольник.
Смотреть решение →Задание № 1403
В данную окружность нужно вписать правильный пятиугольник.
Смотреть решение →Задание № 1404
В данную окружность нужно вписать пятиконечную звезду.
Смотреть решение →Задание № 1405
M — произвольная внутренняя точка правильного n-угольника. Докажите, что сумма расстояний от M до прямых его сторон равна nr, где r — радиус вписанной окружности.
Смотреть решение →Задание № 1406
Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и основания высот являются шестью вершинами правильного семиугольника.
Смотреть решение →Задание № 1407
Квадрат ABCD и правильный треугольник A₁B₁C₁ вписаны в окружность радиуса R. Докажите, что AB+A₁B₁ приближает длину полуокружности с точностью до 0,01R.
Смотреть решение →Задание № 1408
По данным рисунка 424 докажите, что длина AC приближает длину окружности радиуса R с точностью до 0,001R.
Смотреть решение →Задание № 1409
На рисунке 425 даны четыре полуокружности AEB, AKC, CFD, DLB и AC=DB. Докажите, что закрашенная площадь равна площади круга с диаметром EF.
Смотреть решение →Задание № 1410
Постройте окружность, площадь круга которой равна: а) площади кольца между двумя концентрическими окружностями; б) площади данного полукруга; в) площади сектора 60°.
Смотреть решение →Задание № 1411
Движение g переводит A в B, а B в A. Докажите, что g — либо центральная, либо осевая симметрия.
Смотреть решение →Задание № 1412
Даны равные отрезки AB и A₁B₁. Докажите, что существуют ровно два движения, переводящие A→A₁ и B→B₁.
Смотреть решение →Задание № 1413
Докажите равенство двух параллелограммов, если соответственно равны их диагонали и угол между диагоналями.
Смотреть решение →Задание № 1414
Докажите равенство двух трапеций, если соответственно равны их основания и боковые стороны.
Смотреть решение →Задание № 1415
Докажите равенство двух треугольников, если соответственно равны две неравные стороны и разность противолежащих им углов.
Смотреть решение →Задание № 1416
Вершины одного параллелограмма лежат по одной на каждой стороне другого. доказать, что центры двух параллелограммов совпадают.
Смотреть решение →Задание № 1417
Даны две окружности и прямая. построить правильный треугольник: две вершины должны лежать на данных окружностях, а высота из третьей вершины — на данной прямой.
Смотреть решение →Задание № 1418
На одной стороне угла с недоступной вершиной O дана точка M. построить доступный отрезок, длина которого равна OM.
Смотреть решение →Задание № 1419
Даны две пересекающиеся окружности. построить отрезок с концами на этих окружностях так, чтобы его середина совпала с одной из точек их пересечения.
Смотреть решение →Задание № 1420
построить треугольник, если заданы длины всех трёх его медиан.
Смотреть решение →Задание № 1421
Даны четыре отрезка, равные сторонам будущей трапеции. построить трапецию с этими длинами сторон.
Смотреть решение →Задание № 1422
Даны точки A, B и две пересекающиеся прямые c и d. построить параллелограмм ABCD, где C лежит на c, а D — на d.
Смотреть решение →Задание № 1423
Даны прямая, окружность и точка A вне них. построить квадрат ABCD так, чтобы B лежала на прямой, а D — на окружности.
Смотреть решение →Задание № 1424
В данный сектор требуется вписать квадрат: две соседние вершины должны лежать на дуге, а две другие — по одной на каждом радиусе сектора.
Смотреть решение →Задание № 1425
Даны отрезки a, m, n, причём m<n. построить прямоугольник ABCD, для которого AB=a и BC:AC=m:n.
Смотреть решение →Задание № 1426
Даны отрезки a, m, n. построить ромб со стороной a, у которого диагонали относятся как m:n.
Смотреть решение →Задание № 1427
В данный равносторонний треугольник нужно вписать равносторонний треугольник так, чтобы стороны двух треугольников были попарно перпендикулярны.
Смотреть решение →Задание № 1428
В один угол вписаны две окружности. Первая касается сторон угла в M и N, вторая — в P и Q. доказать, что прямая MQ высекает на этих окружностях равные хорды.
Смотреть решение →Задание № 1429
Дана окружность и точка A вне неё. провести секущую через A так, чтобы внешняя часть секущей была вдвое длиннее внутренней.
Смотреть решение →Задание № 1430
BD — биссектриса треугольника ABC, точка D лежит на AC. доказать тождество BD²=AB·BC−AD·DC.
Смотреть решение →Задание № 1431
Используя результат задачи №909 и гомотетию, нужно доказать теорему об окружности девяти точек: на одной окружности лежат основания высот, середины сторон и середины отрезков…
Смотреть решение →Комплексные задания · 7–9 классы
Отдельный финальный блок учебника после №1431. Нумерация здесь начинается заново: №1–6.
Комплексное задание № 1
Узор из окружностей: радиусы через n и последовательность построения.
Смотреть решение →Комплексное задание № 2
Хорды окружности: сравнение длин и построение равной хорды без измерений.
Смотреть решение →Комплексное задание № 3
Круглая клумба: угловые шаблоны 30°, 45°, 60°, 75°, 90°.
Смотреть решение →Комплексное задание № 4
Сгибание бумажного треугольника и сумма его углов.
Смотреть решение →Комплексное задание № 5
Деревянные вкладыши: отходы и вращательная симметрия.
Смотреть решение →Комплексное задание № 6
Пятый постулат Евклида и аксиома параллельных прямых.
Смотреть решение →