Коротко об условии
У правильного пятиугольника A₁A₂A₃A₄A₅ точки A, B, C — середины трёх последовательных сторон. Докажите, что центр O исходной окружности и инцентр O₁ треугольника ABC симметричны относительно AC.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Обозначим радиус описанной около пятиугольника окружности через R. В правильном пятиугольнике центральный угол равен 72°, а внутренний — 108°.
- Точки A и B — середины сторон A₁A₂ и A₂A₃, поэтому AB — средняя линия △A₁A₂A₃ и AB=½A₁A₃=R·sin72°. Аналогично BC=R·sin72°. Следовательно, △ABC равнобедренный.
- Его угол при B равен 108°, поэтому углы при A и C равны 36°. Прямая BO является осью симметрии соответствующей части правильного пятиугольника, значит она биссектриса ∠ABC. Инцентр O₁ также лежит на BO.
- Кроме того, AC перпендикулярна BO. Обозначим H=AC∩BO. Тогда достаточно доказать HO=HO₁.
- B — середина хорды A₂A₃, поэтому OB=R cos36°. Высота BH равнобедренного △ABC равна AB·cos54°=R sin72°·sin36°. Значит HO=OB−BH=R cos36°−R sin72°sin36°=R cos36°cos72°=R/4.
- Найдём радиус вписанной окружности △ABC. При боковой стороне q=R sin72° его площадь равна ½q²sin108°=½q²sin72°, а полупериметр q(1+cos36°). Поэтому r=½R·sin²72°/(1+cos36°). Но sin²72°=(1+cos36°)/2, значит r=R/4.
- Так как O₁H=r=R/4=OH и OO₁⊥AC, точка H — середина OO₁. Следовательно, O и O₁ симметричны относительно AC.
Ответ
O и O₁ являются зеркально симметричными относительно прямой AC.
Что важно запомнить
Для доказательства симметрии достаточно установить перпендикулярность OO₁ к оси и равенство расстояний от O и O₁ до этой оси.