Коротко об условии
Доказать: у коллинеарных векторов координаты пропорциональны; сформулировать и доказать обратное утверждение.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть a{x1;y1} и b{x2;y2} коллинеарны. По лемме о коллинеарных векторах один из ненулевых векторов является числовым кратным другого: a=k·b.
- Тогда x1=kx2 и y1=ky2, то есть координаты пропорциональны. Нулевой случай также согласуется с утверждением.
- Обратно, если координаты пропорциональны, то существует k такое, что x1=kx2 и y1=ky2. Значит a=k·b.
- Следовательно, a и b коллинеарны.
Ответ
Прямое и обратное утверждения верны: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
Что важно запомнить
Практический критерий: x1·y2=x2·y1.