Коротко об условии
Доказать для любых векторов x и y двойное неравенство |x|−|y| ≤ |x+y| ≤ |x|+|y|.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- По неравенству треугольника длина суммы не превосходит суммы длин: |x+y|≤|x|+|y|.
- Для нижней оценки представим x=(x+y)+(−y).
- Снова применяем неравенство треугольника: |x|≤|x+y|+|−y|.
- Так как |−y|=|y|, получаем |x|≤|x+y|+|y|.
- Переносим |y| в левую часть: |x|−|y|≤|x+y|. Обе оценки доказаны.
Ответ
|x|−|y| ≤ |x+y| ≤ |x|+|y|.
Что важно запомнить
Нижняя оценка для длины суммы получается из обычного неравенства треугольника после записи x=(x+y)−y.