Коротко об условии
В параллелограмме ABCD докажите, что выражение (AM²+CM²)−(BM²+DM²) имеет одно и то же значение при любом положении точки M.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Возьмём A за начало отсчёта. Обозначим векторы AB=b, AD=d, тогда C соответствует b+d, а точка M — вектору m.
- Рассмотрим квадраты расстояний: AM²=|m|², CM²=|m−b−d|², BM²=|m−b|², DM²=|m−d|².
- Подставим и раскроем скалярные квадраты. Все слагаемые, содержащие m, сокращаются. Остаётся 2(b·d).
- Полученная величина зависит только от сторон параллелограмма, а не от точки M.
Ответ
(AM²+CM²)−(BM²+DM²)=2·AB·AD·cos∠DAB — постоянная величина, не зависящая от M.
Что важно запомнить
При раскрытии квадратов расстояний в параллелограмме переменные координаты точки M полностью сокращаются.