Коротко об условии
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в O. Точка M лежит на AD и AM=½MD. Дано x=AD, y=AB. Нужно выразить через x и y несколько векторов, связанных с A, B, C, D, O и M.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Положим начало в точке A. Тогда D имеет радиус-вектор x, B — y, C — x+y, а O — ½(x+y), так как диагонали параллелограмма делятся пополам.
- Отсюда: AC=x+y, AO=½(x+y), CO=−½(x+y), DO=½(y−x).
- Также AD+BC=x+x=2x; AD+CO=x−½(x+y)=½(x−y); CO+OA=−½(x+y)−½(x+y)=−x−y.
- Из AM=½MD получаем AM:MD=1:2, значит M делит AD на три равные части от A: AM=⅓x.
- Тогда MC=C−M=⅔x+y; BM=M−B=⅓x−y; OM=M−O=−⅙x−½y.
Ответ
AC=x+y; AO=½(x+y); CO=−½(x+y); DO=½(y−x); AD+BC=2x; AD+CO=½(x−y); CO+OA=−x−y; AM=⅓x; MC=⅔x+y; BM=⅓x−y; OM=−⅙x−½y.
Что важно запомнить
Удобно выбрать A за начало отсчёта и выражать положение каждой точки через два базовых вектора x=AD и y=AB.