Коротко об условии
На рисунке 425 даны четыре полуокружности AEB, AKC, CFD, DLB и AC=DB. Докажите, что закрашенная площадь равна площади круга с диаметром EF.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Площадь закрашенной фигуры складывается из площадей полуокружностей AEB и CDF и уменьшается на площади двух одинаково учитываемых частей, соответствующих полуокружности на AC.
- В обозначениях рисунка это даёт S=½π·OE²+½π·OF²−π(AC/2)².
- Из условия AC=DB и расположения точек на одной прямой следует AC=|OE−OF|. Поэтому S=½π[OE²+OF²−½(OE−OF)²].
- Раскрываем скобки: S=¼π(OE+OF)².
- Но O лежит между E и F, поэтому EF=OE+OF. Значит S=π(EF/2)².
- Последнее выражение — площадь круга, построенного на EF как на диаметре.
Ответ
S_закр = π(EF/2)².
Что важно запомнить
После записи площадей полуокружностей задача сводится к тождеству (x+y)².