Коротко об условии
Докажите: стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая через центры вписанной и описанной окружностей перпендикулярна одной из биссектрис.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Докажем утверждение для биссектрисы угла A. Обозначим a=BC, b=CA, c=AB и t=A/2. Поместим A в начало координат, а биссектрису A — на ось Ox. Тогда B=(c cos t; c sin t), C=(b cos t; −b sin t).
- Пусть O — центр описанной окружности. Из OA=OB и OA=OC после раскрытия квадратов получаем x_O cos t+y_O sin t=c/2 и x_O cos t−y_O sin t=b/2. Поэтому x_O=(b+c)/(4 cos t).
- Инцентр I лежит на оси Ox. AI=r/sin t. Так как r=2Δ/(a+b+c)=2bc sin t cos t/(a+b+c), имеем x_I=AI=2bc cos t/(a+b+c).
- Прямая OI перпендикулярна биссектрисе A (оси Ox) тогда и только тогда, когда x_O=x_I.
- Равенство (b+c)/(4 cos t)=2bc cos t/(a+b+c) с учётом 4bc cos²t=(b+c)²−a² приводит к 2((b+c)²−a²)=(b+c)(a+b+c).
- После сокращения получаем (b+c−2a)(a+b+c)=0, а сумма сторон положительна. Значит, 2a=b+c.
- Итак, OI⊥биссектрисе A ⇔ a является средним арифметическим двух других сторон. Аналогично для биссектрис B и C.
- Следовательно, одна из биссектрис перпендикулярна OI тогда и только тогда, когда одна из сторон равна полусумме двух других, то есть три стороны можно расположить в арифметическую прогрессию.
Ответ
Условие эквивалентно равенству 2a=b+c (или аналогичному для другой стороны), то есть стороны образуют арифметическую прогрессию.
Что важно запомнить
Биссектриса, перпендикулярная OI, относится к углу, напротив которого лежит средний член арифметической прогрессии сторон.