Коротко об условии
Может ли многоугольник иметь ровно два центра симметрии? Обоснуйте ответ.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Предположим, что у многоугольника есть два различных центра симметрии O₁ и O₂.
- Композиция двух центральных симметрий с центрами O₁ и O₂ является параллельным переносом на ненулевой вектор 2·O₁O₂.
- Значит, многоугольник должен был бы совпадать со своим образом при ненулевом параллельном переносе.
- Но ограниченная фигура не может быть инвариантна относительно ненулевого переноса: повторяя перенос, мы получили бы её точки сколь угодно далеко от исходного положения.
- Получили противоречие. Поэтому два различных центра симметрии у многоугольника невозможны.
Ответ
Нет. У многоугольника не может быть двух различных центров симметрии.
Что важно запомнить
Две центральные симметрии подряд дают параллельный перенос. Для ограниченной фигуры ненулевой перенос не может быть симметрией.