Коротко об условии
В остроугольном △ABC (AB>BC) высоты AM и CN, O — центр описанной окружности, ∠B=β. Площадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите AC.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть R — радиус описанной окружности. По теореме синусов AC=2R sinβ.
- Четырёхугольник NOMB разбивается диагональю OB на треугольники OBM и OBN.
- Треугольники OBM и OBC имеют общую высоту к прямой BC, поэтому S_OBM=(BM/BC)·S_OBC. Здесь BM=AB·cosβ, а S_OBC=(1/2)R²sin(2A)=R²sinA·cosA.
- По теореме синусов AB/BC=sinC/sinA. Следовательно, S_OBM=R²·sinC·cosA·cosβ.
- Аналогично S_OBN=R²·sinA·cosC·cosβ.
- Складываем: S=R²cosβ(sinC cosA+sinA cosC)=R²cosβ·sin(A+C). Но A+C=180°−β, поэтому S=R²sinβ cosβ.
- Отсюда R²=S/(sinβ cosβ). Тогда AC=2R sinβ=2√(S·tanβ).
Ответ
AC = 2√(S·tan β).
Что важно запомнить
Связка «площадь через R + теорема синусов» часто резко сокращает вычисления в задачах с центром описанной окружности.