Коротко об условии
Докажите: если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть A(0;0), B(a;0), D(p;q), тогда C(a+p;q).
- AC²=(a+p)²+q², а BD²=(p−a)²+q².
- По условию AC=BD, значит (a+p)²=(p−a)². После раскрытия скобок: 4ap=0.
- Так как a>0, получаем p=0. Следовательно AD вертикальна, AB горизонтальна и ∠DAB=90°. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.
Ответ
Параллелограмм является прямоугольником.
Что важно запомнить
Равенство диагоналей в координатной модели заставляет соседние стороны быть перпендикулярными.