Коротко об условии
A и C — середины двух противоположных сторон произвольного четырёхугольника, B и D — середины двух остальных. Доказать, что для любой точки O сумма векторов OA+OC равна OB+OD.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Обозначим вершины исходного четырёхугольника P, Q, R, S, а их радиус-векторы относительно O — p, q, r, s.
- Так как A, B, C, D — середины его сторон, имеем OA=(p+q)/2, OB=(q+r)/2, OC=(r+s)/2, OD=(s+p)/2.
- Складываем противоположные середины: OA+OC=(p+q+r+s)/2.
- Аналогично OB+OD=(q+r+s+p)/2.
- Правые части совпадают, значит OA+OC=OB+OD.
Ответ
OA+OC=OB+OD.
Что важно запомнить
Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов.