Коротко об условии
Пусть O — центр описанной окружности, G — точка пересечения медиан, H — ортоцентр треугольника ABC. Докажите векторным методом, что точки O, G, H лежат на одной прямой и найдите отношение HG : GO.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Возьмём O за начало отсчёта и обозначим OA = a, OB = b, OC = c. Так как A, B, C лежат на одной окружности с центром O, |a| = |b| = |c| = R.
- Радиус-вектор точки пересечения медиан равен OG = (a + b + c)/3.
- Рассмотрим точку H₁ с радиус-вектором OH₁ = a + b + c.
- Тогда AH₁ = OH₁ − OA = b + c. А BC = c − b. Их скалярное произведение равно (b + c)·(c − b) = |c|² − |b|² = 0. Значит, AH₁ ⟂ BC.
- Аналогично BH₁ ⟂ CA и CH₁ ⟂ AB. Следовательно, H₁ — ортоцентр, то есть H₁ = H.
- Получаем OH = a + b + c = 3OG. Поэтому O, G, H лежат на одной прямой, G находится между O и H, а GH = OH − OG = 2OG.
Ответ
O, G, H коллинеарны и HG : GO = 2 : 1.
Что важно запомнить
Если начало координат взять в центре описанной окружности, радиус-вектор ортоцентра равен a + b + c.