Коротко об условии
Докажите равенство двух трапеций, если соответственно равны их основания и боковые стороны.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть основания трапеции имеют длины a и c, a>c, а боковые стороны — b и d. Опустим перпендикуляры с концов меньшего основания на большее.
- Пусть горизонтальные проекции боковых сторон равны x и y, а высота трапеции — h. Тогда x+y=a−c.
- Из двух прямоугольных треугольников: b²=h²+x² и d²=h²+y².
- Вычитая, получаем b²−d²=x²−y²=(x−y)(x+y). Так как x+y=a−c, величина x−y=(b²−d²)/(a−c) однозначно определяется четырьмя заданными сторонами.
- Следовательно, однозначно определяются x и y, а затем h=√(b²−x²). Значит положение меньшего основания относительно большего определяется с точностью до зеркального отражения.
- Зеркальные фигуры равны, поэтому любые две трапеции с соответственно равными основаниями и боковыми сторонами конгруэнтны.
Ответ
Трапеции равны.
Что важно запомнить
Для обычной трапеции основания различны; четыре её стороны фиксируют высоту и горизонтальные проекции боковых сторон.