Коротко об условии
Для произвольного треугольника ABC нужно доказать, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам исходного треугольника.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Обозначим A₁, B₁, C₁ середины сторон BC, CA, AB. Рассмотрим векторы медиан AA₁, BB₁, CC₁.
- Через радиус-векторы вершин: AA₁=½(b+c)−a, BB₁=½(c+a)−b, CC₁=½(a+b)−c.
- Сложим три выражения. Коэффициент при каждом из a, b, c равен −1+½+½=0.
- Поэтому AA₁+BB₁+CC₁=0.
- Если три вектора, отложенные последовательно, имеют сумму 0, их начало и конец совпадают: они образуют замкнутый треугольник. Его стороны параллельны и равны трём медианам.
Ответ
Такой треугольник существует, поскольку AA₁+BB₁+CC₁=0.
Что важно запомнить
Три ненулевых вектора образуют стороны треугольника при последовательном откладывании, если их сумма равна нулю.