Коротко об условии
Найдите точки пересечения окружностей (x−1)²+(y−2)²=4 и x²+y²=1 и длину их общей хорды.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Раскроем первое уравнение: x²+y²−2x−4y+1=0.
- Так как на второй окружности x²+y²=1, вычитание уравнений даёт x+2y=1. Это уравнение общей хорды (радикальной оси).
- Подставим x=1−2y в x²+y²=1: (1−2y)²+y²=1, откуда 5y²−4y=0.
- Получаем y=0 или y=4/5. Соответственно точки пересечения: P(1;0) и Q(−3/5;4/5).
- PQ=√[(1+3/5)²+(0−4/5)²]=√(80/25)=4√5/5.
Ответ
Точки (1;0) и (−3/5;4/5); длина общей хорды 4√5/5.
Что важно запомнить
Вычитание уравнений двух окружностей сразу даёт прямую, содержащую их общую хорду.